Arbitragem Estatística – preliminares

O nome arbitragem estatística remete a algo complexo, mas veremos que o conceito é bastante simples. Primeiro, precisamos entender o que é uma arbitragem. Uma arbitragem pura significa uma oportunidade de comprar um ativo e conseguir vendê-lo (ou um ativo “equivalente”) de maneira a obter um lucro sem risco. Como qualquer agente racional iria querer explorar tal oportunidade, não é surpreendente que elas não existam (ou existam por pouquíssimo tempo) no mercado. Afinal, se não há risco, o agente investiria na arbitragem tantos recursos quanto conseguisse obter, e este fato faz com que os preços sejam corrigidos e a arbitragem deixe de existir. Esta ideia está formulada na “Lei do Preço Único“: bens idênticos devem ter o mesmo preço.

O conceito de arbitragem estatística difere do de arbitragem pura porque o lucro não é auferido sem risco.  A arbitragem estatística pode ser descrita com uma estratégia de alocar recursos em ativos “equivalentes” de maneira a obter um lucro esperado positivo. A diferença está no termo esperado, que denota que a oportunidade é lucrativa na média. Ou seja, o agente que explora essa oportunidade está tomando risco, e por ele recebe um certo retorno esperado.

O conceito de ativos “equivalentes” é vago e muitas vezes é relaxado ou ignorado na prática. O tipo mais comum de arbitragem estatística é o chamado trade de pares (pairs trading). Esse tipo de estratégia baseia-se na noção de  encontrar dois ativos (ações, índices, ETFs) que, na média, comportem-se de maneira similar, e explorar situações em que essa relação esteja distorcida. Quando ocorre uma divergência do comportamento usual, é possível formar uma posição que será favorecida no futuro, quando (ou melhor, se) a relação entre os ativos voltar ao normal (quando houver uma convergência). No momento da divergência, o investidor irá comprar um dos ativos e simultaneamente vender o outro (se for uma ação, é necessário alugá-la primeiro para poder vendê-la). Qual ativo ele comprará, e qual venderá, irá depender de que tipo de distorção ocorreu entre os ativos, mas em geral, vende-se o ativo que se valorizou mais, e compra-se o que se desvalorizou. Idealmente, ocorrerá a convergência e o investidor fechará a posição, executando a operação contrária a que fez anteriormente, e realizando lucro. Como o investidor compra (posição long) e vende (posição short) os ativos simultaneamente, esse tipo de estratégia também é conhecido como Long/Short.

Um exemplo: PETR3 e PETR4 são ambas ações da Petrobrás, sendo que a PETR3 é a ação ON (ordinária) e a PETR4 é a ação PN (preferencial). Como são ações da mesma empresa, estão expostas aos mesmos riscos, e, como esperado, seus preços andam juntos (clique no gráfico para aumentar).



Uma estratégia de arbitragem estatística quantitativa consistiria em critérios que definem quando ocorreu a divergência entre as ações, ou seja, quando entrar no trade, com que quantidades, e quando sair. O critério de divergência é portanto uma parte crucial da estratégia. Para entendê-lo melhor, vamos definir alguns conceitos.

Estacionariedade, Reversão à Média

As séries de preços de ativos financeiros são, em geral, não-estacionárias. Isso basicamente quer dizer que características das séries temporais, como média e variância, variam no tempo. Outra característics dos preços de ativos é que eles em geral são integrados de ordem 1 (I(1)). Isso significa que os preços das ações podem subir indefinidamente (mas, obviamente, não podem cair abaixo de 0).  Por outro lado, uma variável estacionária, integrada de ordem 0 (I(0)), apresenta uma característica interessante de sempre retornar à um valor central, ou médio. Dizemos que ela “reverte à média”. Os retornos diários de ações seguem, em geral, esse tipo de comportamento, apesar de não serem estritamente estacionários, já que suas médias (e principalmente suas volatilidades) variam no tempo. Para obter uma estratégia de arbitragem estatística bem-sucedida, é preciso trabalhar com uma variável que seja o mais próxima da estacionariedade possível. Afinal, queremos que haja convergência. Há muitos detalhes técnicos sobre esses conceitos que são relevantes na prática, mas para um primeiro exemplo seguiremos com essas definições intuitivas.

O critério de divergência será uma transformação dos preços das ações, que deverá ser estacionária ou pelo menos próxima de ser estacionária. Ou seja, para que a estratégia funcione é preciso um comportamento de reversão à média. Isso irá depender do par de ações em questão. Para escolher os pares, existem várias possibilidades. Uma é considerar pares de ações dentro do mesmo setor ou indústria; afinal, os fatores de risco tendem a ser os mesmos e as ações tenderão a “andar juntas”. Outras maneiras comuns envolvem medidas como correlação (grau de associação entre os retornos das ações) ou o conceito de cointegração, que é um pouco mais complexo e sobre o qual escreverei em um post mais a frente.

Um Exemplo Prático

Duas medidas comuns da relação entre um par de ativos são o spread (preço da ação B menos o preço da ação B) e a razão (preço da ação A dividido pelo preço da ação B). O gráfico abaixo mostra o spread entre o preço de PETR3 e PETR4, padronizado com uma média e um desvio padrão calculados numa janela móvel. Um spread ideal para um trade long/short variaria bastante, e cruzaria a média com mais frequência do que o mostrado acima, sem ficar por períodos longos acima ou abaixo de zero.

Como a séries está padronizada, seus valores flutuam dentro de uma certa faixa (aparentemente entre -3 e 3).  Quando o valor está próximo de um desses extremos pode ser um bom ponto de entrada em um trade. Por exemplo, a seta vermelha indica o dia 23/03/2009. Neste dia, o valor do spread padronizado era de 2.94. Como esse valor é alto, o investidor decide que vai apostar na convergência e vende o par, ou seja, vende PETR3 e compra PETR4 (note que se tivéssemos definido o para como PETR4-PETR3, os valores seriam invertidos e compraríamos o par, mas os trades nas ações seriam os mesmos). Ele decide sair no dia 27/04/2009 (seta azul), quando o spread padronizado cruza o zero. Supondo que o investidor operou 1000 de cada ação, temos:

23/03/2009: Vendeu 1000 PETR3 a R$37.68 / Comprou 1000 PETR4 a R$29.65

27/04/2009: Comprou 1000 PETR3 a R$34.85 / Vendeu 1000 PETR4 a R$27.88

A exposição líquida neste caso é próxima de zero, ou seja, a ponta vendida financia a compra da ponta comprada. Isso faz com que a posição tenha uma correlação próxima de zero com o mercado (também é possível operar quantidades que tornem a posição exatamente caixa-neutra ou beta-neutra). Na prática, como o investidor não tinha PETR3, ele precisou alugar a ação para vender.Vamos ver como ficou o trade após o fechamento: a PETR3 caiu e o investidor ganhou -1000x(34.85-37.68) = R$2837 na ponta vendida. Na posição comprada de PETR4 ele perdeu 1000x(27.88-29.65) = -R$1767. Então no total, o investidor saiu com um lucro de aprox. R$1069, para um investimento de aproximadamente R$40,000 em 24 dias úteis (mas que na realidade tem exposição líquida zerada). Claro que é preciso ainda retirar os custos de operação (aluguel de PETR3, corretagem, emolumentos e ainda a diferença entre o preço assumido acima e o que teria sido conseguido na execução da ordem), que podem muito bem fazer com que, no final das contas, a operação não seja lucrativa.

Um outro ponto de entrada possível ocorre no dia 6/7/2009, quando o spread padronizado era igual a -2.61. Neste caso o investidor poderia comprar o par (ou seja, comprar PETR3 e vender PETR4, fechando o trade por exemplo no dia 23/07/2009, também com lucro.

Esse primeiro post teve a intenção de apenas introduzir o assunto e dar um exemplo simples. Na prática há muitos outros aspectos a se considerar, tanto em relação aos parâmetros da estratégia (os valores exatos dos pontos de entrada e saída, janela das estimativas de média e desvio padrão do spread) quanto ao seu risco. Felizmente, é possível aprender bastante sobre o comportamento da estratégia fazendo-se uma simulação ao longo do tempo, ou seja, fazendo-se o backtest. Esse será o assunto de um futuro post.

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