Carteiras de variância mínima

Nos dois posts anteriores, escrevi de maneira bem resumida e básica sobre a teoria de seleção de carteiras. Relembrando, dados  N ativos de risco, o problema de seleção da carteira do investidor, no paradigma média-variância de Markowitz, é escolher uma carteira com o maior retorno esperado para um certo nível de risco ou, equivalentemente, com o menor risco para um certo target de retorno.

Matematicamente, o problema é:

\underset{\boldsymbol w}{\min}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1\text{ e }\boldsymbol w' \boldsymbol \mu=\bar{R}.

Na prática, o vetor de retornos esperados das ações, mu, e a matriz de covariância \boldsymbol \Omega não são conhecidos, e precisam ser estimados. Este é o primeiro potencial problema na aplicação prática de Markowitz, já que nenhum dos parâmetros é trivialmente estimado. A estimação de \mu é a mais problemática, pois os retornos passados contém muito pouca informação sobre o retorno esperado futuro, e o erro de estimação é muito alto. A estimação da matriz de covariância também é problemática. Para um universos de N ativos, é preciso estimar \frac{N(N-1)}{2} + N parâmetros. Por exemplo, se N = 100, temos 4950 covariâncias mais 100 variâncias, um total de 5050 parâmetros, o que em geral é bem maior do que o número de observações, prejudicando a precisão das estimativas.

Os problemas de estimação acima fazem com que o desempenho fora da amostra de carteiras eficientes com dados históricos seja ruim (Best (1991), Michaud (1989)). Isso ocorre devido  ao erro de estimação (principalmente dos retornos esperados) quando a fronteira eficiente é estimada dentro da amostra com dados históricos. Logo, quando o investidor não possui um método para prever o retorno médio futuro dos ativos (isto é, se ele se baseia em médias de retornos passados), é preferível ignorar completamente as médias e focar na estimação da matriz de covariância, conforme sugerido por Jagannathan e Ma (2003). Neste caso, uma escolha óbvia é a carteira com o menor risco possível, ou seja a carteira de variância mínima (CVM). A CVM é a solução do problema

\underset{\boldsymbol w}{\min}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1. \text{ } \left(1\right)

Interessantemente, a carteira de variância mínima produz, fora da amostra, retornos superiores à outras carteiras eficientes, contrariando os preceitos básicos da relação risco-retorno em Finanças (ver Falkenstein (2009)). Este fato é conhecido há algum tempo (Jorion (1985, 1991), Jagannathan e Ma (2003), Clark, de Silva e Thorley (2006)), apesar de não haver um consenso na literatura sobre a sua origem.

Para obter a carteira de variância mínima, é preciso estimar \boldsymbol \Omega. Algumas empresas no mercado, como a BARRA, possuem soluções para cálculo da matriz de covariância. Essas matrizes geralmente são construídas através de um modelo multifatorial para os retornos dos ativos, e subsequentes regressões no corte transversal dos ativos (ver Tsay (2010), Alexander (2009)). Porém, o custo dessas soluções é elevado, e seu processo de construção nem sempre é transparente.

Vários métodos foram propostos na literatura para mitigar o problema de estimação de \boldsymbol \Omega. Alguns exemplos incluem a abordagem por componentes principais de Jones (2001), usada por exemplo por Falkenstein (2009); a imposição de uma estrutura fatorial no estimador da matriz de covariância (Chan et al (1999) e Green e Hollifield (1992)), ou o uso da matriz de covariância amostral, com a restrição de posições vendidas (Frost e Savarino (1988), Jagannathan e Ma (2003)). Um método simples e eficaz é o método de shrinkage proposto por Ledoit e Wolf (2004).

Usando dados de ações do mercado brasileiro, eu produzi uma carteira de variância mínima, minimizando a expressão (1). A figura abaixo mostra o retorno acumulado do IBOVESPA, do CDI e da carteira de variância mínima (CVM). Os resultados da CVM são fora da amostra e líquidos de custos estimados de operação. É interessante notar que a CVM não é uma carteira de baixo risco. A volatilidade da carteira mostrada é cerca de metade da volatilidade do IBOVESPA, por volta de 16% ao ano. Porém, seu retorno anualizado é da ordem de 50% mais alto do que o do índice.

Carteira de variância mínima, IBOV e CDI

Os resultados indicam que o investidor tem muito a ganhar ao ignorar os retornos esperados, e focar na minimização da variância. Eu planejo publicar aqui no blog,  periodicamente, a composição de uma carteira de variância mínima, com rebalanceamento mensal.

Referências

Best, M. J., & Grauer, R. R. (1991). On the sensitivity of mean-variance efficient portfolios to changes in asset means: Some analytical and computational results. Review of Financial Studies, 4, 315-342.

Clark, R., De Silva, H., & Thorley, S. (2006). Minimum-variance portfolios in the US equity market. Journal of Portfolio Management, 10-24.

DeMiguel, V., Garlappi, L., Nogales, F. J., & Uppal, R. (2009). A Generalized Approach to Portfolio Optimization: Improving Performance by Constraining Portfolio Norms. Management Science, 55, 798-812.

Falkenstein, E. G. (2009). Risk and Return in General: Theory and Evidence. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1420356.

Frost, P. A., & Savarino, J. E. (1986). An empirical Bayes approach to efficient portfolio selection. Journal of Financial & Quantitativa Analysis, 21, 293-305.

Green, R., & Hollifield, B. (1992). When will mean-variance efficient portfolios be well diversified? Journal of Finance, 47, 1785-1809.

Haugen, R. A., & Baker, N. L. (1991). The Efficient Market Inefficiency of Capitalization- weighted Stock Portfolios. Journal of Portfolio Management, 17(3), 35-40.

Jagannathan, R., & Ma, T. (2003). Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps. Journal of Finance, 58(1651-1684).

Jones, C. S. (2001). Extracting factors from heteroskedastic asset returns. Journal of Financial Economics, 62, 293-325.

Jorion, P. (1985). International portfolio diversification with estimation risk. Journal of Business, 58, 259-278.

Jorion, P. (1991). Bayesian and CAPM estimators of the means: Implications for portfolio selection. Journal of Banking & Finance, 15, 717-727.

Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix. Journal of Portfolio Management, 30, 110-119.

Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

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Teoria de carteiras de investimento – Parte II

Este é o segundo de uma série de posts sobre a teoria moderna de carteiras de investimento. No post anterior, fiz uma breve introdução ao assunto e ao problema de Markowitz. Neste post iremos ver um pouco mais da teoria de carteiras.

O problema de alocação foi resolvido, do ponto de vista teórico, por Markowitz, e foi a base para o desenvolvimento da teoria de precificação de ativos. Essa teoria foi baseada em algumas suposições sobre os ativos existentes no universo de investimento e sobre as características dos investidores (ver Alexander (2008)):

  • Existência de um ativo sem risco (título), e captação ou empréstimo ilimitado de recursos à taxa paga por este ativo.
  • Os ativos são completamente caracterizados pelo seu retorno esperado, volatilidade (desvio padrão do retorno) e suas correlações com outros ativos.
  • Qualquer ativo pode ser comprado/vendido em qualquer quantidade.
  • Todos os investidores possuem o mesmo conjunto de informação.
  • Todos os investidores são avessos a risco, no sentido de que preferem uma carteira com a menor variância para um dado nível de retorno.
Com as suposições acima, e a introdução do ativo sem risco, que paga uma taxa de retorno r_f (por exemplo, títulos do governo), à qual o investidor pode emprestar ou tomar emprestado capital, teremos uma nova fronteira eficiente, linear (ver figura abaixo), e um resultado interessante, o Teorema da Separação de Tobin: todos os investidores deverão ter carteiras que possuem uma combinação do ativo sem risco e de uma carteira especial, a carteira de mercado, que se localiza no ponto de tangência da linha que sai do ativo sem risco com a fronteira eficiente anterior. Esse resultado tem uma implicação prática importante: nesse mercado idealizado, todos os investidores possuem a mesma carteira de ativos de risco, ou seja, gestão ativa de carteiras não faz sentido (os investidores deveriam simplesmente comprar a carteira de mercado, na proporção de seu capital determinada pela sua aversão ao risco).
Fronteira eficiente com ativo sem risco

A equação dessa reta, chamada de Reta de Alocação de Capital, é simplesmente

 R_c = r_f + \sigma_C \times \frac{R_M-r_f}{\sigma_M}

 Ou seja, quando a volatilidade é zero, o investidor concentra a carteira no ativo livre de risco e recebe o rendimento r_f. Conforme toma mais risco, seu retorno aumenta linearmente com a inclinação da reta tangente no gráfico acima, uma quantidade que é comumente chamada de razão de Sharpe, e que mede o prêmio de risco (retorno acima do ativo livre de risco) dividido pelo risco, medido pelo desvio padrão.

Neste mesmo mundo estilizado, pode-se derivar a equação do modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model), que relaciona o retorno esperado das carteiras com uma quantidade chamada de beta (\beta):

\mathbb{E}(R_c) = r_f + \beta_c(R_M-rf),

onde \beta_i = \frac{Cov(R_c,R_m)}{Var(R_M)} é uma medida de quão relacionada com a carteira de mercado é a carteira R_c. Carteiras com \beta s maiores do que 1 são mais arriscadas do que a de mercado, e portanto ganham retornos maiores. Analogamente,  carteiras com \beta smenores do que 1 são menos arriscadas do que a de mercado, e portanto ganham retornos menores. Por definição, a carteira de mercado tem \beta_M = 1. No mundo do CAPM, as ações ou carteiras são medidas em relação à carteira de mercado, e este é o único fator que determina o seu retorno esperado. O risco específico de uma ação, que não é relacionado com movimentos do mercado, não é recompensado, pois pode ser diversificado.

A teoria descrita brevemente acima possui um elemento de elegância matemática. Porém, no mundo real, ela não funciona, pois parte de uma série de suposições que diferem muito do que acontece na prática.

Muitos estudos reportam a falha do CAPM para explicar o retorno de certas carteiras de investimento (Eg. Fama e French (1992, 1996, 2006)), e outros questionam a própria relação entre risco e retorno. Por exemplo, Ang, Hodrick, Xing e Zang (2010) reportam uma relação negativa entre risco e retorno. Apesar disso, essa teoria é ensinada como válida em muitos MBAs de finanças, e executivos em empresas ainda levam modelos como o CAPM à serio.

Outro fato que é conhecido há algum tempo, porém muitas vezes ignorado, é de que um procedimento simples de minimização de variância gera uma carteira que produz retornos superiores aos da carteira de mercado, diretamente contrariando toda a teoria acima. Em outras palavras, a Carteira de Variância Mínima (CVM), o ponto mais à esquerda na fronteira eficiente sem o ativo livre de risco, é um bom investimento. No próximo post, falarei um pouco deste assunto, mostrarei como obter a CVM e o seu desempenho no Brasil.

Referências

Zhang, Xiaoyan, Ang, Andrew, Hodrick, Robert J. and Xing, Yuhang, High Idiosyncratic Volatility and LowReturns: International and Further U.S. Evidence (January 2008). Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1108216

Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. 1992. The Cross-Section of Expected Stock Returns. The Journal of Finance 47: 427-465.

Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. 1996. Multifactor Explanations of Asset Pricing Anomalies. The Journal of Finance 51, no. 1: 55-84.

Fama, Eugene F. and French, Kenneth R., The Value Premium and the CAPM (March 2005). Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=686880

Haugen, R. A, and N. L. Baker. 1991. The Efficient Market Inefficiency of Capitalization-weighted Stock Portfolios. Journal of Portfolio Management 17, no. 3: 35-40.