Carteiras de variância mínima

Nos dois posts anteriores, escrevi de maneira bem resumida e básica sobre a teoria de seleção de carteiras. Relembrando, dados  N ativos de risco, o problema de seleção da carteira do investidor, no paradigma média-variância de Markowitz, é escolher uma carteira com o maior retorno esperado para um certo nível de risco ou, equivalentemente, com o menor risco para um certo target de retorno.

Matematicamente, o problema é:

\underset{\boldsymbol w}{\min}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1\text{ e }\boldsymbol w' \boldsymbol \mu=\bar{R}.

Na prática, o vetor de retornos esperados das ações, mu, e a matriz de covariância \boldsymbol \Omega não são conhecidos, e precisam ser estimados. Este é o primeiro potencial problema na aplicação prática de Markowitz, já que nenhum dos parâmetros é trivialmente estimado. A estimação de \mu é a mais problemática, pois os retornos passados contém muito pouca informação sobre o retorno esperado futuro, e o erro de estimação é muito alto. A estimação da matriz de covariância também é problemática. Para um universos de N ativos, é preciso estimar \frac{N(N-1)}{2} + N parâmetros. Por exemplo, se N = 100, temos 4950 covariâncias mais 100 variâncias, um total de 5050 parâmetros, o que em geral é bem maior do que o número de observações, prejudicando a precisão das estimativas.

Os problemas de estimação acima fazem com que o desempenho fora da amostra de carteiras eficientes com dados históricos seja ruim (Best (1991), Michaud (1989)). Isso ocorre devido  ao erro de estimação (principalmente dos retornos esperados) quando a fronteira eficiente é estimada dentro da amostra com dados históricos. Logo, quando o investidor não possui um método para prever o retorno médio futuro dos ativos (isto é, se ele se baseia em médias de retornos passados), é preferível ignorar completamente as médias e focar na estimação da matriz de covariância, conforme sugerido por Jagannathan e Ma (2003). Neste caso, uma escolha óbvia é a carteira com o menor risco possível, ou seja a carteira de variância mínima (CVM). A CVM é a solução do problema

\underset{\boldsymbol w}{\min}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1. \text{ } \left(1\right)

Interessantemente, a carteira de variância mínima produz, fora da amostra, retornos superiores à outras carteiras eficientes, contrariando os preceitos básicos da relação risco-retorno em Finanças (ver Falkenstein (2009)). Este fato é conhecido há algum tempo (Jorion (1985, 1991), Jagannathan e Ma (2003), Clark, de Silva e Thorley (2006)), apesar de não haver um consenso na literatura sobre a sua origem.

Para obter a carteira de variância mínima, é preciso estimar \boldsymbol \Omega. Algumas empresas no mercado, como a BARRA, possuem soluções para cálculo da matriz de covariância. Essas matrizes geralmente são construídas através de um modelo multifatorial para os retornos dos ativos, e subsequentes regressões no corte transversal dos ativos (ver Tsay (2010), Alexander (2009)). Porém, o custo dessas soluções é elevado, e seu processo de construção nem sempre é transparente.

Vários métodos foram propostos na literatura para mitigar o problema de estimação de \boldsymbol \Omega. Alguns exemplos incluem a abordagem por componentes principais de Jones (2001), usada por exemplo por Falkenstein (2009); a imposição de uma estrutura fatorial no estimador da matriz de covariância (Chan et al (1999) e Green e Hollifield (1992)), ou o uso da matriz de covariância amostral, com a restrição de posições vendidas (Frost e Savarino (1988), Jagannathan e Ma (2003)). Um método simples e eficaz é o método de shrinkage proposto por Ledoit e Wolf (2004).

Usando dados de ações do mercado brasileiro, eu produzi uma carteira de variância mínima, minimizando a expressão (1). A figura abaixo mostra o retorno acumulado do IBOVESPA, do CDI e da carteira de variância mínima (CVM). Os resultados da CVM são fora da amostra e líquidos de custos estimados de operação. É interessante notar que a CVM não é uma carteira de baixo risco. A volatilidade da carteira mostrada é cerca de metade da volatilidade do IBOVESPA, por volta de 16% ao ano. Porém, seu retorno anualizado é da ordem de 50% mais alto do que o do índice.

Carteira de variância mínima, IBOV e CDI

Os resultados indicam que o investidor tem muito a ganhar ao ignorar os retornos esperados, e focar na minimização da variância. Eu planejo publicar aqui no blog,  periodicamente, a composição de uma carteira de variância mínima, com rebalanceamento mensal.

Referências

Best, M. J., & Grauer, R. R. (1991). On the sensitivity of mean-variance efficient portfolios to changes in asset means: Some analytical and computational results. Review of Financial Studies, 4, 315-342.

Clark, R., De Silva, H., & Thorley, S. (2006). Minimum-variance portfolios in the US equity market. Journal of Portfolio Management, 10-24.

DeMiguel, V., Garlappi, L., Nogales, F. J., & Uppal, R. (2009). A Generalized Approach to Portfolio Optimization: Improving Performance by Constraining Portfolio Norms. Management Science, 55, 798-812.

Falkenstein, E. G. (2009). Risk and Return in General: Theory and Evidence. Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1420356.

Frost, P. A., & Savarino, J. E. (1986). An empirical Bayes approach to efficient portfolio selection. Journal of Financial & Quantitativa Analysis, 21, 293-305.

Green, R., & Hollifield, B. (1992). When will mean-variance efficient portfolios be well diversified? Journal of Finance, 47, 1785-1809.

Haugen, R. A., & Baker, N. L. (1991). The Efficient Market Inefficiency of Capitalization- weighted Stock Portfolios. Journal of Portfolio Management, 17(3), 35-40.

Jagannathan, R., & Ma, T. (2003). Risk reduction in large portfolios: Why imposing the wrong constraints helps. Journal of Finance, 58(1651-1684).

Jones, C. S. (2001). Extracting factors from heteroskedastic asset returns. Journal of Financial Economics, 62, 293-325.

Jorion, P. (1985). International portfolio diversification with estimation risk. Journal of Business, 58, 259-278.

Jorion, P. (1991). Bayesian and CAPM estimators of the means: Implications for portfolio selection. Journal of Banking & Finance, 15, 717-727.

Ledoit, O., & Wolf, M. (2004). Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix. Journal of Portfolio Management, 30, 110-119.

Tsay, R. S. (2010). Analysis of Financial Time Series. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

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4 comentários sobre “Carteiras de variância mínima

  1. Dr. Nickel Boa tarde

    Estou fazendo meu TCC na universidade sobre este assunto da teoria moderna de carteiras e a carteira de minima variância, na qual tenho que elaborar uma carteira de minima- variância. Se possivel gostaria que você apresentasse em algum artigo ou que me enviasse através de cálculos/fórmulas no excel, como voce chegou aos valores de alocação (%) para a carteira de minima variância…por exemplo, como foi definido que a melhor alocação para AMBV4 em dezembro seria de 15,81%?

    Muito obrigado e excelente artigo

  2. Tenho o mesmo interesse do Matheus, gostaria de saber melhor na pratica como fazer os cálculos.
    Sei otimizar portfolio com solver no excel, você utiliza algum outro metodo?
    Obrigado

  3. Obrigado pelos comentários. Coloco em breve um exemplo completo de como construir a carteira no Excel.
    Eu utilizo um software que eu mesmo desenvolvi, que faz este tipo de otimização.

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