A matemática da independência financeira

Tenho lido bastante sobre independência financeira e decidi escrever um pouco para organizar melhor as idéias. Há um livro chamado Early Retirement Extreme, que como o nome diz, é sobre estratégias radicais para se aposentar mais cedo. O autor do livro, Jacob Fisker, propõe mudanças extremas no padrão de consumo e no estilo de vida, que possibilitem economizar algo da ordem de 70% da renda. Isto permitiria alcançar a independência financeira em menos de 10 anos de trabalho. Um outro proponente de um estilo de vida mais frugal, porém não tão radical, é o Mr. Money Mustache, cujo blog mencionei recentemente e que possui um post, baseado nos cálculos apresentados no livro de Fisker.

Os cálculos de independência financeira desenvolvidos por Fisker são relativamente simples e baseiam-se em conceitos corriqueiros de matemática financeira, como juros compostos. O que estes cálculos demonstram é algo bastante intuitivo: dentre os fatores que influenciam no tempo necessário para se tornar financeiramente independente, o mais importante é a taxa de poupança, ou seja, a proporção dos rendimentos líquidos que não são gastos.

Há diversos outros fatores que precisam ser levados em consideração em qualquer cálculo deste gênero, como por exemplo a taxa de retorno sobre os recursos investidos, a inflação e o nível de consumo que se pretende ter no futuro, ou seja, as retiradas no período de consumo dos recursos poupados. No entanto, a taxa de poupança é o mais importante principalmente por dois motivos:

  • Está diretamente sob nosso controle, ao contrário de outros fatores como o retorno sobre os investimentos (sobre o qual temos controle parcial) e a inflação (sobre o qual não temos controle);
  • Quanto maior a taxa de poupança, mais dramático é o efeito dos retornos sobre os investimentos, ou seja, menor o tempo necessário para acumular os recursos necessários para se tornar financeiramente independente.

Apresento a seguir alguns dos cálculos básicos de independência financeira. Apesar de as fórmulas estarem reproduzidas abaixo, elas não são essenciais para entender os conceitos, os quais são demonstrados com exemplos e gráficos. Para o leitor mais interessado, escrevi um pequeno artigo com mais detalhes e exemplos, incluindo a derivação das fórmulas (para quem quiser se relembrar de fórmulas de PA e PG :-P).

Custo real de uma despesa recorrente

Vamos então a alguns resultados interessantes. O primeiro é o cálculo do custo real de uma despesa recorrente. Suponha que você possui uma despesa recorrente de R$100 por mês. Caso você deixasse de ter esta despesa e investisse o valor todo mês, o dinheiro renderia juros e portanto, o custo real da despesa reflete este custo de oportunidade. Se a taxa de retorno sobre o investimento for, por exemplo, de 10% ao ano, após um período de 10 anos o valor acumulado seria superior a R$20.0000. Ao longo de 20 anos, o valor acumulado seria de quase R$76.000. A equação para calcular estes valores é a seguinte:

P_N=A\left[\frac{(1+j)^N-1}{j}\right],

na qual A é o valor da despesa mensal, j é a taxa de juros mensal e N é o número total de meses. A fórmula pode ser utilizada em qualquer frequência desejada, basta substituir as variáveis adequadamente. Por exemplo, para calcular o custo real de uma despesa anual, basta usar a taxa de juros anual, e N em número de anos.

É conveniente utilizar estes cálculos com um valor unitário (R$1), assim para saber o custo de uma despesa mensal qualquer, basta multiplicar o valor da despesa pelo fator correspondente. Com uma taxa de juros anual de 10%, os valores são:

Anos Meses Fator de multiplicação
1 12 13
5 60 77
10 120 205
20 240 759
40 480 6324

Um exemplo prático: uma família possui um carro e está considerando a compra de um segundo. Suponha que o custo mensal, incluindo IPVA, seguro, combustível, estacionamento, manutenção etc, corresponda a R$800 por mês. Então o custo real de ter o segundo carro, ao longo de 10 anos (sem considerar a depreciação e o custo de oportunidade do valor gasto para comprar o carro!) seria de R$ 164.000 (R$ 800 x 205).

Duração do patrimônio acumulado

Para nos tornarmos financeiramente independentes, precisamos trabalhar durante um certo tempo, durante o qual iremos economizar parte da nossa renda. O valor economizado será aplicado em algum tipo de investimento. O patrimônio total deste “fundo” será utilizado para financiar o período de independência financeira, durante o qual o fundo continua a render juros, porém sofre retiradas periódicas. Aqui surgem duas perguntas interessantes:

  • Quanto dinheiro sobrará no fundo acumulado após um número de anos de retiradas?
  • Quanto tempo levará para que o fundo acumulado seja completamente consumido?

Para responder a primeira pergunta, vamos assumir que já passamos pelo período de acumulação e acumulamos um fundo de tamanho P_0, e passaremos a consumir este fundo, retirando no início de cada período um valor p. Podemos pensar nestas variáveis tanto em termos monetários (por exemplo, P_0 = R$ 1 milhão, ou em termos de anos de despesa. Neste caso, o valor de P_0 reflete o número de anos de despesa ao qual o valor monetário corresponde. Por exemplo, se a despesa anual é de R$100.000, um fundo de R$ 1 milhão representa 10 anos de despesas. O mesmo vale para o valor da retirada, p. A cada período, o valore remanescente do fundo rende juros j até o próximo período, quando um valor adicional p é retirado. Qual o valor que restará no fundo após N períodos? A resposta é dada pela seguinte fórmula

P_N=P_0(1+j)^N-p\left[\frac{(1+j)^{N+1}-(1+j)}{j}\right]

Vejamos um exemplo: Uma pessoa acumulou um fundo equivalente a 10 vezes a sua despesa anual. Se a taxa anual de retorno for de 6%, quanto restará no fundo após 5 anos?

Aplicando a fórmula com P_0=10, p = 1, j=0,06 e N=5, veremos que o valor que restará no fundo será equivalente a 7,41 anos de despesa.

O exemplo acima é interessante, pois vemos que o efeito dos juros faz com que um fundo equivalente a 10 anos de despesa, após 5 anos de retirada, ainda dure por mais de 7 anos. A próxima pergunta seria, quantos anos durará o fundo até ser totalmente consumido? Resolvendo a equação P_N = 0, chegamos à seguinte fórmula:

N=\frac{\log\left(p(1+j)\right)-\log\left(p(1+j)-P_0 j\right)}{\log\left(1+j\right)}

Com a equação acima, podemos calcular a duração de fundos de vários tamanhos (em termos de anos equivalentes de despesa) para várias taxas de retorno possíveis. A figura abaixo apresenta o resultado. Note que, para taxas de retorno real* bastante conservadoras, da ordem de 3% a 4%, um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual durará, basicamente, para sempre. A fórmula acima é muito interessante, pois permite mensurar o valor que precisa ser poupado para alcançar a independência financeira. Além disso, ela mostra a natureza exponencial do efeito dos juros ou retorno sobre os investimentos. Por exemplo, um fundo equivalente a 10 anos de despesa, aplicado a uma taxa de retorno (real) de 4% ao ano, duraria 13,25 anos. Já um fundo com o dobro do tamanho, 20 anos, duraria o equivalente a 37,38 anos! Ou seja, ao dobrar o tamanho do fundo, o período adicional aumentou de 3,25 anos (o que equivale a 32,5% do tamanho do fundo) para 17,38 anos (o que equivale a quase 87% do tamanho do fundo).

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Tempo necessário para acumular o fundo

Vimos que um fundo equivalente a 10 anos de despesas durará mais do que 10 anos, devido ao efeito do retorno sobre os investimentos. Analogamente, podemos raciocinar que não é preciso acumular o equivalente a 10 anos de despesa, se o objetivo final é financiar um período com esta duração. A pergunta de interesse, portanto, é:

  • Quantos anos é preciso trabalhar para acumular um fundo suficiente para viver X anos?

Por exemplo, suponha que uma pessoa de 30 anos de idade está planejando sua aposentadoria, e tem uma expectativa de vida seja de 90 anos. Se ela pretende se aposentar aos 50 anos, então é necessário acumular um fundo necessário para sobreviver 40 anos. Pela lógica acima, ela precisa na realidade acumular menos do que o equivalente a 40 anos de despesa.

Suponha que a taxa de poupança seja igual a r\% da renda, e que estejamos interessados em acumular um fundo equivalente a um certo número de anos de despesa, o qual podemos denotar por P_0/p, onde P_0 é o tamanho do fundo e p é a despesa anual (ambos em R$). O tempo necessário, em anos, para acumular este fundo é dado por

N=\frac{\log\left(\frac{P_0}{p}\frac{(1-r)}{r}j+1\right)}{\log\left(1+j\right)}

Vimos que um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual, sob circunstâncias normais, pode durar quase indefinidamente. A figura abaixo apresenta o número de anos de trabalho necessários para acumular tal fundo, para várias taxas de retorno sobre os investimentos. As taxas de poupança indicadas em planos de previdência são geralmente da ordem de 10% a 15%, o que implica em um período de contribuição da ordem de 40 a 50 anos, a não ser que seja possível atingir taxas de retorno acima de 10%. Como podemos ver pelo gráfico, a maneira mais eficiente de atingir a IF mais cedo é reduzir os gastos como proporção da renda. Por exemplo, para se tornar independente em 10 anos (começando do zero), basta ter um padrão de vida compatível com gastos da ordem de 30% a 35% da renda. 

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Considerações finais

Obviamente que estas análises são relativamente simplistas e não levam em consideração o patrimônio inicial, mudanças futuras na renda ou no padrão de consumo, ou outras fontes de renda como por exemplo imóveis alugados. Porém, são úteis para dar uma ideia inicial do esforço necessário para se tornar financeiramente independente. A maneira mais simples de fazer uma análise mais realista é através de uma simulação, por exemplo em uma planilha.

*Isto é, excluindo inflação, taxas, impostos etc.

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