Desempenho e Risco de Investimentos

Uma das vantagens das estratégias quantitativas é a possibilidade de se realizar um backtest, ou simulação histórica, do desempenho da estratégia. O backtest nada mais é do que “voltar no tempo” e simular a cada instante as decisões da estratégia. Com a disponibilidade de séries históricas de preços, volumes ou mesmo os balanços históricos, podemos calcular quanto dinheiro a estratégia teria ganhado ou perdido ao longo do tempo.

Este post é sobre o passo posterior à realização do backtest: a mensuração do desempenho da estratégia. Em outras palavras, após testar diversas estratégias diferentes, que medidas podemos calcular para avaliar o risco e o retorno de cada uma, e auxiliar na decisão de que estratégia investir.

Neste texto irei descrever várias medidas de desempenho comumente utilizadas na prática para avaliar investimentos. Elas podem ser utilizadas tanto para avaliar uma estratégia simulada, como para avaliar ativos como ações, fundos de investimento etc. Todos os exemplos mencionados no texto estão disponíveis nesta planilha.

É importante ressaltar que existem relações entre algumas destas medidas e conceitos teóricos de Finanças, porém não detalharei com profundidade este aspecto e procurarei focar nos aspectos intuitivos e práticos. Também é importante mencionar que este texto foca no cálculo ex-post de diversas medidas de desempenho e risco, ou seja, utilizando os valores realizados de retorno no passado. Várias destas medidas também possuem definições ex-ante, ou seja, utilizando retornos esperados.

Para ilustrar os conceitos e cálculos abaixo, utilizarei as séries históricas de preços de duas ações, KROT3 e OGXP3, além do índice IBOVESPA e o CDI. A ação KROT3 está entre as que mais valorizaram neste período, enquanto OGXP3 é a que mais perdeu valor. O período da amostra é entre janeiro de 2010 e dezembro de 2013, ou seja, um total de 4 anos. É importante notar que, apesar de os exemplos serem ações e índices de ações, os conceitos podem ser aplicados a qualquer série que represente o valor de um investimento ao longo do tempo.

O gráfico abaixo mostra os preços históricos das duas ações, além do valor do índice IBOVESPA.

Preços de KROT3, OGXP3 e índice IBOVESPA

 Cálculo de retornos

Diversas das medidas mencionadas neste post dependem do cálculo dos retornos. Os retornos podem ser calculadas de diferentes maneiras e utilizando dados em diferentes frequências (isto é, diários, semanais, mensais etc). Em linhas gerais, quanto maior a frequência dos dados utilizados, mais precisa é a estimativa, pois temos uma quantidade de dados maior.

O retorno de um investimento ou ativo qualquer entre os períodos t e t+1 é definido por

r_t = \frac{p_t}{p_{t-1}}-1,

onde p_t é o preço do investimento ou ativo no instante t.

É comum em Finanças, quando temos dados diários, utilizar o chamado  log-retorno, que é definido como

l_t = \log\left(\frac{p_t}{p_{t-1}}\right).

Os log-retornos possuem diversas vantagens com relação aos retornos (ver este post):

  • Sob suposição de log-normalidade dos preços, o log-retorno possui distribuição normal, a qual é fácil de tratar;
  • Os log-retornos são aditivos ao longo do tempo, isto é, a soma dos log-retornos de períodos consecutivos é o log-retorno do período total. Em contraste, o retorno acumulado de vários períodos é o produtório de vários termos envolvendo cada retorno;
  • O log-retorno é aproximadamente igual ao retorno para períodos curtos.

O segundo ponto implica que é fácil calcular o log-retorno em frequências diferentes da utilizada para calcular os retornos, bastando multiplicar pelo período desejado, representado na frequência original. Por exemplo, se o log-retorno diário médio for de 0.0317%, então o retorno anual será de aproximadamente 8% (0.0317% multiplicado pelo número de dias úteis em um ano, 252).

A seguir serão detalhadas diversas medidas de desempenho e de risco comumente utilizadas para avaliação e comparação de investimentos, sejam estes fundos, ações, etc.

Taxa de crescimento anual (CAGR)

taxa composta de crescimento anual, muitas vezes abreviada pela sigla em inglês CAGR, representa a taxa de crescimento anual de um investimento, com a suposição de um crescimento constante. É importante ressaltar que a CAGR não corresponde, em geral, ao retorno do investimento em um ano específico, e sim a taxa anual que o investimento precisaria render, caso o retorno fosse exatamente o mesmo todos os anos. O CAGR de um investimento entre os tempos t_0 e t_n é calculado através da seguinte fórmula:

CAGR(t_0,t_n) = \left(\frac{V_{t_n}}{V_{t_0}}\right)^{\left(\frac{1}{t_n-t_0}\right)}-1

Na fórmula acima, V_{t_0}V_{t_n} representam, respectivamente, os valores inicial e final do investimento. Além disso, é importante lembrar que o horizonte deve estar expresso em anos, de maneira que o termo t_n-t_0 representa o número de anos. Por exemplo, suponha que realizamos o backtest de uma estratégia no período de janeiro de 2010 até dezembro de 2013. No instante t=0 o valor do patrimônio era de R$100,000 e em dezembro de 2013 o patrimônio alcançou R$150.000. Portanto temos V_0 = 100,000 e V_4 = 150,000.

O CAGR utilizar a suposição de um retorno anual constante, o que na prática não ocorre. Porém, é uma medida muito conveniente para comparar investimentos, pois sumariza em um número o retorno anualizado que um investidor obteria. Note que o CAGR é diferente do retorno anual médio; se calcularmos a média simples dos retornos anuais, o resultado não representa a taxa composta de retorno anualizada do investimento. Por exemplo, suponha um investimento com retornos de 10%, -15% e 5% ao longo de três anos consecutivos. O retorno anual médio é 0%, porém o CAGR seria de -0.61%.

Os CAGR dos ativos no nosso exemplo durante o período são:

KROT3 OGXP3 IBOV CDI
CAGR 45.2% -65.9% -7.4% 9.4%

Volatilidade

A volatilidade representa uma medida da dispersão dos retornos ao redor do retorno médio e é calculada na prática através do desvio padrão dos retornos, geralmente anualizado e reportado em termos percentuais. A volatilidade tem sido utilizada como medida de risco em Finanças há décadas, apesar de possuir uma desvantagem bem conhecida. O fato de ela ser calculada utilizando tanto os retornos negativos como positivos significa que ela penaliza a existência de retornos positivos, principalmente os de grande magnitude, o que é contraintuitivo e indesejável. Além disso, o uso da volatilidade para descrever a distribuição dos retornos traz uma suposição implícita de que esta distribuição é simétrica, o que na prática geralmente não é verdade.

A tratabilidade do log-retorno também implica que a volatilidade calculada através do log-retorno pode ser facilmente convertida de uma frequência para outra, bastando multiplicar pela raiz quadrada do período desejado. Por exemplo, dada uma série de log-retornos diários, o desvio-padrão da série será uma estimativa da volatilidade diária do ativo. Se desejamos a volatilidade anual, basta multiplicar pela raiz quadrada do número de dias em um ano . Na planilha, há a opção de calcular retornos ou log-retornos, porém utilizo a mesma regra de conversão que vale para log-retornos. Isto é uma aproximação. A planilha também apresenta cálculos utilizando retornos mensais. Em todos os casos, utilizo a regra da raiz quadrada para anualizar os valores.

As estimativas de volatilidade anual (usando os log-retornos) dos ativos são:

KROT3 OGXP3 IBOV
Volatilidade 29.4% 90.8% 21.7%

Os valores mostram que tanto a KROT3 como OGXP3 possuem maior variabilidade nos retornos do que o índice IBOVESPA, o que é esperado, uma vez que o índice é composto por diversas ações e portanto se beneficia do efeito de diversificação.

Volatilidade Downside

Como mencionei, a volatilidade não é uma boa medida de risco, pois ela trata da mesma maneira retornos postivos e negativos. Isto é contraintuitivo, pois podemos argumentar que investidores preferem menor volatilidade na parte negativa dos retornos, mas não necessariamente na parte positiva. Uma maneira de se remediar isto é calculando a chamada volatilidade downside, ou volatilidade das perdas. Esta é definida como o desvio-padrão dos retornos, considerando apenas os retornos abaixo de um certo valor de referência, como por exemplo o retorno médio, a taxa livre de risco ou um valor arbitrário como zero.  Este artigo define de maneira mais formal as medidas de risco de downside e mostra alguns exemplos. Na planilha, considerei a volatilidade downside com um valor de referência igual a 0. Note que a volatilidade downside pode ser comparada com a volatilidade do ativo, porém é preciso cuidado na interpretação. Em geral, podemos comparar as volatilidades downside entre ativos, desde que o retorno de referência utilizado seja o mesmo.

As estimativas de volatilidade downside anual (usando os log-retornos diários) dos ativos são:

KROT3 OGXP3 IBOV
Volatilidade Downside 19.3% 71.9% 15.8%

Em alguns casos, a comparação de dois ativos utilizando a volatilidade e a volatilidade downside produzem resultados opostos. O artigo mencionado acima apresenta um exemplo destes, comparando os retornos anuais da Oracle e Microsoft. A volatilidade da Oracle é muito maior do que a da Microsoft, devido à existência de um ano em que o retorno da Oracle foi de 289.8%. Este valor extremo, apesar de bom para um investidor que possuísse o papel na época, infla a volatilidade, pois esta considera tanto os ganhos como as perdas. Quando comparamos a volatilidade downside, chegamos à conclusão de que a Microsoft é mais arriscada do que a Oracle, pois possui maior volatilidade nas perdas.

Índice de Sharpe

O índice ou razão de Sharpe é uma medida do retorno ajustado ao risco. O índice de Sharpe é definido como a razão entre o prêmio de risco (retorno esperado – retorno do ativo livre de risco) e a volatilidade do investimento. A definição do índice de Sharpe ex-ante é:

S=\frac{E[R-R_f]}{\sigma},

onde R é o retorno do investimento, R_f é a taxa livre de risco e \sigma é a volatilidade do investimento. Para fazer o cálculo ex-post do índice de Sharpe, ou seja, utilizando valores realizados, é preciso primeiramente calcular o retorno médio do investimento e da taxa livre de risco, assim como a volatilidade.

O índice de Sharpe possui a seguinte interpretação. Ele representa o retorno em excesso ou prêmio de risco (isto é, acima da taxa livre de risco) por unidade de desvio padrão do retorno. Logo, quanto maior for o índice de Sharpe, melhor.

Os retornos médios (anualizados) dos nossos ativos são os seguintes (usaremos o CDI como a taxa livre de risco):

KROT3 OGXP3 IBOV CDI
Retorno médio 37.4% -81.8% -6.7% 9.1%

Utilizando as volatilidades calculadas acima, chegamos aos seguintes valores de índice de Sharpe:

KROT3 OGXP3 IBOV
Índice de Sharpe 0.96 -1.00 -0.73

Em geral, um valor do índice de Sharpe acima de 1 é considerado razoável, e um índice de Sharpe acima de 2 é excelente. Notamos que o único ativo com índice de Sharpe positivo no nosso exemplo é a KROT3.

Um ponto importante é que, quando o investimento possui um retorno médio inferior ao da taxa livre de risco, o índice de Sharpe é negativo. Nestes casos, a interpretação  torna-se pouco clara.  Em particular, não é instrutivo comparar estratégias que possuem índice de Sharpe negativo, sem olhar outras medidas. Um exemplo simples pode clarificar. Imagine dois ativos, A e B, com retornos médio de 4%. Assuma que a taxa livre de risco seja de 6% e que as volatilidades dos ativos sejam 10% e 20%, respectivamente. Claramente o investimento B parece pior, pois tem o mesmo retorno médio, porém o dobro da volatilidade. Ao calcular as razões de Sharpe dos dois ativos, chegamos a -0.2 para o ativo A e -0.1 para o ativo B. Logo percebemos que o índice de Sharpe não ordena os ativos da maneira esperada.

É importante lembrar que o índice de Sharpe possui diversas fragilidades, relacionadas com o fato de que a medida de risco utilizada é a volatilidade. Isto implica que o índice de Sharpe, por si só, não é útil para avaliar investimentos que possuem distribuições de retorno assimétricas, ou com a existência de valores extremos. Séries de retornos de ações são, em sua maioria, assimétricas e com caudas pesadas, porém o problema é maior ainda quando consideramos estratégias com opções, por exemplo. Existem versões generalizadas do índice de Sharpe que levam em considerações a assimetria da distribuição e a existência de valores extremos.

Índice de Sortino

O índice de Sortino é uma  adpatação do índice de Sharpe, na qual a volatilidade do ativo é substituída pela volatilidade downside, ou seja, utilizando apenas os retornos abaixo de um certo valor de referência. A vantagem do índice de Sortino com relação ao de Sharpe é que ele reflete apenas a volatilidade “ruim”, ou seja, das perdas.

Com os dados do nosso exemplo, chegamos aos seguintes valores para o índice de Sortino:

KROT3 OGXP3 IBOV
Índice de Sortino 1.47 -1.26 -1.00

Perda Máxima (Maximum Drawdown)

A perda máxima representa a perda máxima de um investimento em um período, medida em comparação ao pico ou valor máximo no período. Em outra palavras, é a pior desvalorização que o investimento sofreu em um período.

Para calcular a perda máxima, é preciso considerar o caminho do preço do investimento, ou seja, ela depende de todo o histórico de preços. Para cada ponto da série, é preciso considerar o máximo do retorno acumulado (ou preço) desde o início até o aquele instante, para determinar se aquele ponto estava abaixo do máximo. Se estava, ele representa uma perda, e neste caso o valor da perda é calculado e armazenado. Caso estivesse acima, ele se torna o novo máximo. A perda máxima é o maior valor (em módulo) da série de perdas com relação ao máximo.

Na planilha que acompanha este post, a perda máxima é calculada utilizando a própria planilha (na aba Drawdown) para fazer os cálculos das séries de picos e perdas. Também incluí uma função em VBA, chamada MaxDrawDown, que realiza exatamente o mesmo cálculo a partir da série de preços.

Os drawdowns máximos dos ativos deste post são:

KROT3 OGXP3 IBOV CDI
Drawdown Máximo -37% -99.4% -38% 0%

Vemos que, com exceção do CDI, cujo retorno é sempre positivo, todos os ativos sofreram perdas severas. OGXP3 pedeu praticamente todo seu valor, enquanto KROT3 e IBOVESPA tiveram perdas máximas semelhantes de quase 40% neste período.

Beta

O beta de uma ação é uma medida do risco sistemático do papel. O risco sistemático é a parcela do risco da ação que é atribuível à movimentos do mercado como um todo. Ele difere do risco idiossincrático, que representa o risco próprio da empresa. O risco idiossincrático pode ser diversificado, através da compra de diversas ações de empresas de diferentes setores, enquanto o risco sistemático representa o risco não diversificável.

O beta tem um papel importante em Finanças e é a base do modelo CAPM. Este modelo estipula que o retorno esperado de um ativo é igual ao retorno do ativo livre de risco, adicionado do prêmio de risco do mercado, multiplicado pelo beta do ativo. Matematicamente, temos:

E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m)-Rf)

onde R_i é o retorno do ativo i, R_f é o retorno do ativo livre de risco, R_m é o retorno da carteira de mercado, e \beta_i é o beta do ativo i. Na prática, é comum utilizar o retorno de um índice de ações para representar a carteira de mercado. No Brasil, utiliza-se comumente o IBOVESPA como a carteira de mercado, e o CDI como ativo livre de risco.

O beta é calculado através da regressão linear dos retornos sugerida pela equação do modelo CAPM. Isto implica que o beta pode ser calculado como

\beta_i = \frac{Covar\left(R_i,R_m\right)}{Var\left(R_m\right)}

No Excel, dado uma série de retornos em excesso, o beta pode ser calculado utilizando as funçoes COVAR e VAR, ou utilizando a função PROJ.LIN (LINEST no Excel em inglês). Na prática, a subtração da taxa livre de risco não influencia muito no cálculo do beta, na maioria das situações. Por este motivo, na planilha utilizo diretamente os retornos.

A interpretação do beta é a seguinte: se o mercado subir  (ou cair) 1%, é esperado que o ativo suba (ou caia) \beta%. A tabela abaixo mostra os betas dos nossos ativos. Note que, por definição, o beta do IBOV é igual a 1.

KROT3 OGXP3 IBOV
Beta 0.43 1.95 1.00

Notamos que, utilizando o beta, KROT3 é uma ação defensiva, pois quando o mercado sobe ou cai 1%, esperamos que ela suba ou caia apenas 0.43%. A OGXP3, por outro lado, é uma ação extremamente agressiva: esperamos praticamente o dobro do retorno do mercado.

Uma medida relacionado com o beta é a correlação com um benchmark, como por exemplo um índice de mercado como o IBOVESPA. A principal diferença entre as medidas é que a correlação é uma medida puramente estatística que meda o grau de associação linear entre duas variáveis, ou seja, não tem o significado do beta como risco sistemático. Além disso, a correlação é um número que é sempre entre -1 (correlação negativa perfeita) e 1 (correlação positiva perfeita).

Outras medidas

Existem diversas outras medidas comumente utilizadas, que podem ou não fazer sentido, dependendo do ativo ou estratégia sendo estudado. Alguns exemplos:

  • Melhor/Pior retorno mensal – representa o melhor retorno mensal do ativo;
  • % Dias/Meses positivos – representa a proporção de dias ou meses em que o retorno foi positivo. Uma variação encontrada em muitas lâminas de fundos é a proporção de meses acima de um benchmark como o CDI ou o IBOVESPA;
  • Taxa de acerto – útil para avaliar estratégias ou trading system que dão sinais de quando entrar ou sair de um ativo.

Conclusão

A tabela abaixo apresenta todas as medidas mencionadas para cada um dos ativos.

 

KROT3 OGXP3 IBOV CDI
Valor Inicial 8.52 17.67 70045 1.00
Valor final 37.86 0.24 51507 1.43
Retorno total 344.4% -98.6% -26.5% 43.4%
CAGR 45.2% -65.9% -7.4% 9.4%
Retornos Mensais Retorno médio 41.2% -78.0% -6.1% 9.0%
Volatilidade 26.2% 65.3% 17.7% 0.5%
Volatilidade Downside 12.4% 59.9% 12.8%
Índice de Sharpe 1.23 -1.33 -0.86
Índice de Sortino 2.59 -1.45 -1.18
Retornos Diários Retorno médio 37.4% -81.8% -6.7% 9.1%
Volatilidade 29.4% 90.8% 21.7% 0.1%
Volatilidade Downside 19.3% 71.9% 15.8%
Índice de Sharpe 0.96 -1.00 -0.73
Índice de Sortino 1.47 -1.26 -1.00
Drawdown Máximo -37.4% -99.4% -38.3% 0.0%
Pior retorno mensal -13.7% -54.5% -11.9% 0.5%
Melhor retorno mensal 19.9% 50.0% 11.5% 1.1%
Beta 0.43 1.95 1.00 0.00
Correlação com benchmark 0.31 0.47 1.00 0.00
% Meses Positivos 64.6% 39.6% 41.7% 100.0%
% Dias Positivos 50.0% 45.8% 49.0% 100.0%

Este post teve o objetivo de fazer uma breve introdução as medidas de desempenho de investimentos. Este assunto é extenso e há diversos detalhes e nuances que não cabem em um post de blog. Espero que o material seja útil!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16 comentários sobre “Desempenho e Risco de Investimentos

      • Fiquei em dúvida sobre a métrica dos cálculos de DI. Inicialmente tinha pensado que correspondia ao fator diário, porém baixando os dados do portal CETIP, vi que, por exemplo, o valor do site de 30/12/2011 é igual a 1.00040956, enquanto na planilha é de 1.223163012. porém quando calculada a média do retorno mensal da planilha, vi que esta corresponde ao valor aproximado divulgado, enquanto que o cálculo da média mensal a partir do fator diário do CETIP divergia e muito. Gostaria de saber se houve algum calculo diretamente nos valores da planilha, ou se correspondem a valores agregados a partir de uma data. Obrigada

  1. Marilia, o CDI na planilha está acumulado iniciando em janeiro 2010. O fator 1.2231 em 30/12/2011 significa que o CDI acumulou 22,31% entre 4/1/2010 e 30/12/2011. O fator diário de 30/12/2011 seria a razão entre o acumulado em 2/1/2012 e 30/12/2011, que dá exatamente 1.00040956. Espero que tenha ficado claro!

  2. Boa noite! Tive uma dúvida examinando a planilha. No texto foi dito que foi utilizado zero como medida downside, mas na planilha, vendo as formulas, parece que foi utilizado o CDI. Será que não entendi direito? Parabéns pelo site! Excelente.

      • Desculpe, olhei melhor e vi que eu me enganei, tá tudo certo! Aproveitando, queria tirar outra dúvida. Utilizei os dados de sua planilha para fazer os testes com uma carteira de 8 papéis com pesos iguais. Quando se usa o log retorno (ln) pode-se aplicar o mesmo conceito tradicional de que: “a rentabilidade da carteira é a média ponderada dos retornos das ações individuais que a compõem”? Pergunto pq quando calculei utilizando a média dos preços individuais das 8 ações para atribuir um preço para a carteira (e em seguida fazer os cálculos do retorno da carteira como na planilha) o resultado deu diferente da média ponderada dos retornos individuais. Será que você pode me ajudar? Obrigada

      • O retorno normal pode ser somado entre ativos, porém não pode ser somado entre períodos. O log-retorno funciona ao contrário: pode ser somado ao longo do tempo (por exemplo, log-retorno de 5 dias é a soma dos log-retornos diários para os 5 dias) mas não pode ser agregado linearmente na carteira, ou seja, o log-retorno da carteira não é a média ponderada dos log-retornos dos ativos individuais.

      • Muito obrigada! Só para confirmar, então para calcular o log retorno da carteira o caminho é fazer a média dos preços das 8 ações a cada dia e proceder os cálculos como exposto na planilha?

      • Para calcular o log retorno da carteira, você precisa calcular o valor da carteira para o início e fim do período (quantidade x preço de cada ativo e soma) e aplicar o log retorno diretamente.

  3. Bom dia!

    Após análise da planilha que traz os exemplos, verifiquei que o intervalo de tempo utilizado compreende o primeiro e o último dia útil de cada mês.O mais usual não seria utilizar o último dia útil do mês anterior e o penúltimo dia útil do mês que se pretende avaliar?

    Grata,

    Patricia

    • A planilha usa o último dia do mês contra o último dia do mês anterior. Somente para o primeiro mês é que ela usa o primeiro dia.
      Exemplo: retorno de KROT3 para fevereiro de 2010 é o preço do fechamento do último dia do mês (26/2) divido pelo preço do último dia de janeiro (29/1). Ou seja, 8.616/8.848-1 = -2,62%.
      Se eu usar o penúltimo dia do mês, estarei ignorando o retorno daquele dia, que ocorreu durantes o mês.

      • Obrigada.

        Tive outra dúvida, agora com relação ao CDI.
        Quando comparamos a quantidade de dias de pregão da Bovespa e da Cetip, verificamos que a Cetip pode apresentar uma quantidade maior. Assim, para o cálculo do CDI acumulado utilizamos todos os dias de cotação deste indicador, sem interrupção, ou desconsideramos uma data caso não exista a correspondência entre as duas clearings?

        Grata

        Patrícia

      • Existem dias em que não há pregão, mas o dinheiro é remunerado no CDI. O correto é usar o acumulado do CDI incuindo estes dias.

  4. Também com relação ao retorno mensal e retorno total tenho outra dúvida. Na planilha foi utilizado o log retorno para cálculo do retorno diário, mas, pelas fórmulas, no retorno total e no mensal ou utilizado o retorno normal. Entendi certo?

    • Creio que há uma opção para escolher retorno normal ou log-retorno no caso do diário. Para mensal e anual é sempre retorno normal. O log-retorno só é próximo do retorno para valores pequenos, portanto no caso de retornos diários, que possuem uma magnitude menor, não faz muita diferença.

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