Como mensurar a independência financeira através de simulações de Monte Carlo

Em um post passado e no artigo que o acompanha, falei sobre a matemática da independência financeira. A ideia do post era mostrar, através de cálculos simples, o impacto das principais variáveis que afetam a acumulação de riqueza e a possibilidade de alcançar a independência financeira:

  • Patrimônio líquido atual
  • Taxa de poupança
  • Gastos futuros
  • Taxa de retorno
  • Taxa de inflação
  • Duração do período de acumulação

Usando um modelo simples com aportes mensais constantes, exploramos algumas fórmulas fechadas para o valor futuro do patrimônio, o tempo de duração do patrimônio após a “aposentadoria” etc. Como mencionei na época, as fórmulas obtidas são assumidamente simplistas, pois assumem retornos, inflação, poupança e gastos constantes. Mas os resultados são interessantes, pois dão uma aproximação de quanto é necessário poupar para ter uma certa renda passiva.

No artigo, comentei sobre a possibilidade de tornar os cálculos mais realistas, por exemplo assumindo uma dinâmica estocástica para as taxas de retorno e inflação. No mundo real, estas taxas são variáveis e suas trajetórias podem influenciar – e muito – o valor da carteira. Pense por exemplo em um investidor com alocação em ações que planejava se aposentar em 2008.

A ideia é, ao invés de usar taxas de retorno/inflação constantes, utilizar um modelo de simulações de Monte Carlo para simular as trajetórias das taxas de retorno e inflação e, consequentemente, do patrimônio do investidor. Ao repetir a simulação diversas vezes, podemos construir a distribuição do valor do patrimônio futuro, o que permite ter uma ideia da probabilidade de atingir o patrimônio desejado.

Construção do Modelo e Suposições

Assumimos um processo de investimento muito simples. O investidor tem uma certa renda líquida mensal, e poupa uma porcentagem desta renda todo mês. Se chamarmos a renda de R , e a taxa de poupança de p, então o valor do aporte a cada mês é A_t = R \times p, e o valor do gasto mensal é R \times (1-p). O valor do patrimônio a cada mês é dado pela seguinte expressão:

P_t = P_{t-1}(1+ r_t) + A_t ,

onde r_t representa o retorno da carteira do investidor naquele mês. Ou seja, o valor da carteira neste mês é igual ao valor da carteira no mês passado, multiplicado pelo retorno da carteira, acrescido do valor do aporte mensal.

Para o modelo probabilístico de evolução dos retornos, vamos assumir que existem dois ativos: o mercado de ações e o mercado de renda fixa. Vamos representar o mercado de ações pelo índice IBrX, e o mercado de títulos do governo pelo índice de renda fixa IMA da ANBIMA. O investidor aloca x\% no mercado de ações, e o restante (1-x \%) em títulos do governo. Isto permite criar uma carteira bastante balanceada e diversificada entre ações e títulos. O retorno da carteira do investidor é dado por

r_t = x r^A_t + (1-x)r^T_t ,

onde r^A_t é o retorno do mercado de ações (IBrX) e r^T_t é o retorno da carteira de títulos do governo (índice IMA). Usando dados históricos, podemos estimar a média e volatilidade de cada índice, assim com a correlação entre os dois. Os resultados obtidos usando a amostra de janeiro de 2000 a fevereiro de 2016 foram os seguintes:

Ações (IBrX) Títulos do governo (IMA)
Anual Mensal Anual Mensal
Média 11.5% 0.9% 14.5% 1.1%
Volatilidade 26.5% 7.6% 2.6% 0.7%

A correlação entre os dois índices foi de aproximadamente 24%. Isto nos permite calcular a média e volatilidade de qualquer alocação entre os dois ativos*. Por exemplo, uma carteira com 50% de alocação para cada ativo teria a seguinte média e volatilidade:

Carteira
Anual Mensal
Média 13.0% 1.1%
Volatilidade 13.6% 3.9%

A cada mês, simulamos o retorno mensal da carteira usando uma distribuição normal com a média e volatilidade da carteira**.

Para a inflação, utilizei os dados do IPCA, que dão uma inflação média de 0,55% ao mês, com volatilidade de 0,39%. A inflação mensal é simulada de uma distribuição normal com estes parâmetros***. Note que, com a alocação acima para a carteira, isto implica em um retorno real esperado de aproximadamente 6,5% ao ano, bastante generoso. Se olharmos os resultados do último ano, o retorno nominal e real desta carteira foram negativos. O aporte mensal é corrigido pela inflação a cada 12 meses, refletindo o aumento na renda em linha com a inflação. Note que não há suposição de aumento real da renda.

Com esta dinâmica, podemos simular diversos caminhos (trajetórias) para o patrimônio do investidor. O gráfico abaixo mostra uma destas simulações com horizonte de 20 anos (240 meses) com x = 50\% e p=50\%, assim como o valor da carteira se os retornos fossem constantes. Partimos de uma renda de $1, apenas para ter uma base de comparação entre diversas simulações. Nesta simulação, o saldo final da carteira ficou abaixo do saldo se os retornos fossem constantes.

SaldoFinal1simulacaoO gráfico abaixo apresenta 200 trajetórias para o saldo mensal, assim como os percentis de 10% e 90% do saldo de cada mês.

SaldoFinal200simulacao

Descontando a inflação e dividindo o saldo final pelo valor do custo anual (em valor presente, ou seja, dinheiro de hoje), podemos estimar estatísticas para o patrimônio acumulado em termos do número de anos de despesa equivalente. Ou seja, após um certo período de acumulação, quantos anos seria possível viver da renda passiva da carteira. Como mostrei no artigo anterior, um valor de 25 anos de despesa é, em geral, suficiente para sobreviver indefinidamente (considerando que as despesas não aumentem em termos reais). Isto equivale a viver com uma retirada anual de 4% do patrimônio. Por exemplo, se o custo de vida anual for de R$72k (R$6k por mês), seria necessário acumular R$1,8 milhões de reais.

O gráfico abaixo mostra a mediana do saldo final (como proporção do número de anos de despesa) baseado em 5000 simulações, com diferentes horizontes. Vemos que os resultados são muito mais conservadores do que os da Figura 2 do artigo, devido ao efeito da volatilidade dos retornos e da inflação. Por exemplo, com uma taxa de poupança de 40% e retorno real de 6,5%, a Figura 2 do artigo mostrava que seriam necessários pouco menos de 20 anos para alcançar um patrimônio de 25 vezes a despesa anual. Com a inclusão do efeito da volatilidade nos retornos, vemos que seriam necessários aproximadamente 25 anos para ter uma probabilidade de 50% de alcançar o objetivo.

MedianasSaldoFinalAo calcular os percentis 10% e 90% das distribuições, podemos ter uma ideia do pior e melhor caso (com 10% de confiança) para cada horizonte. Os gráficos abaixo mostram estas curvas para diferentes horizontes (5, 10, 15 e 20 anos) e para % de poupança. Com isto podemos ter uma ideia melhor de como atingir um certo patamar de patrimônio com uma margem de segurança. Por exemplo, suponha que o objetivo seja alcançar um patrimônio equivalente a 25 anos de despesas, com uma margem de segurança de 10%. Para isto, precisamos procurar em cada gráfico abaixo, qual a taxa de poupança tal que a curva do percentil 10% (curva azul) está acima de 25 anos de despesa no eixo vertical (representada pela reta laranja).

Para o período de 5 anos de acumulação de patrimônio, vemos que seria necessária uma taxa de poupança superior a 80%. Para 10 anos, seria ligeiramente acima de 70%. Para 15 anos, acima de 60% e para 20 anos, acima de 50%.

5 anos

5 anos

10 anos

10 anos

15 anos

15 anos

20 anos

20 anos

Finalmente, dada uma taxa de poupança fixa, podemos estimar diretamente a probabilidade de alcançar um certo objetivo através dos resultados das simulações. O gráfico abaixo mostra a distribuição do saldo após 10 anos de acumulação de patrimônio, com taxa de poupança de 50%. Com base nos dados usados para criar este histograma, podemos calcular a probabilidade de superar o objetivo de um patrimônio de 25 vezes a despesa anual (basta contar o número de simulações em que o saldo de 10 anos trazido a valor presente superou 25, e dividir pelo número de simulações, que neste caso foi de 5000). O resultado: a probabilidade de alcançar o objetivo em 10 anos com uma taxa de poupança de 50% é menor do que 1%. Faz bastante sentido, já que com 50% de poupança, a cada ano trabalhado economiza-se o suficiente para viver por 1 ano (excluindo efeito de juros e inflação), logo apenas em cenários extremamente favoráveis seria possível acumular tanto dinheiro. A mediana no caso abaixo é de 13 anos, refletindo o fato de o retorno real ser positivo.

HistogramaSaldoFinal10anos

Conclusões

O objetivo deste post foi mostrar como aplicar simulações de Monte Carlo para simular o valor do patrimônio de um investidor, usando um modelo simples de poupança/investimento e da dinâmica estocástica dos ativos do mercado.

Os resultados mostram-se mais conservadores em comparação ao modelo sem aleatoriedade, o que é esperado, pois permitem maior variabilidade nos rendimentos e na inflação. A técnica também permite estimar a probabilidade de atingir um certo objetivo em um dado horizonte.

Este modelo pode ser expandido para criar um simulador ainda mais realista, que permita incluir renda de ativos imobiliários, diferentes dinâmicas de gastos antes e depois do período de acumulação, utilização de contribuições previdenciárias, FGTS etc.

_______________________________________________________________________

* O retorno médio da carteira é

\mathbb{E}(r_t) = x \mathbb{E}(r^A_t) + (1-x)\mathbb{E}(r^T_t)

\mu = x \mu^A + (1-x)\mu^B

e a variância da carteira é

Var(r_t) = x^2 Var(r^A_t) + (1-x)^2Var(r^T_t) +2 x(1-x)Cov(r^A_t,r^T_t)

Var(r_t) = x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T

E portanto a volatilidade da carteira é

\sigma = \sqrt{x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T}

** A escolha da distribuição normal é arbitrária e não muito realista, já que os retornos de ativos financeiros raramente seguem distribuições normais. Além disto, a volatilidade dos ativos financeiros não é constante. Porém, para demonstrar o conceito, decidi manter a maior simplicidade possível.

A geração dos cenários (valores dos retornos) é extremamente simples de ser feita. Lançamos mão de um resultado de Estatística que mostra que podemos gerar valores de quase qualquer distribuição de probabilidade através de números aleatórios de uma distribuição uniforme. O processo consiste em gerar um número aleatório uniforme (função ALEATÓRIO no Excel) e aplicar o inverso da função de distribuição acumulada que queremos gerar. Portanto para gerar um número de uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma, basta usar no Excel a expressão INV.NORM(ALEATÓRIO, mu, sigma).

*** O mais correto seria modelar a distribuição conjunta das três variáveis (mercado de ações, de títulos e inflação). Novamente, optei por mantes a simplicidades.

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