Edward Thorp e o Critério de Kelly

Edward Thorp é um professor de matemática, famoso por ter inventado um sistema elaborado para ganhar no blackjack através de contagem de cartas e por ter sido um dos gestores mais bem sucedidos da história, obtendo retornos anualizados da ordem de 20% ao longo de mais de 20 anos. O fundo de Thorp foi um dos pioneiros em utilizar modelos quantitativos para identificar e explorar anomalias no mercado financeiro. Thorp lançou recentemente sua biografia, o que me lembrou de um material que preparei muito tempo atrás baseado em um artigo seu sobre o Critério de Kelly.

O Critério de Kelly, um dos conceitos utilizados amplamente por Thorp em jogos e no mercado, é uma metodologia matemática para maximizar o crescimento do capital em jogos favoráveis, ou seja, no qual a probabilidade de se ganhar é maior do que 1/2.

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O exemplo mais simples para entender o Critério de Kelly é considerar um jogo envolvendo o lançamento de uma moeda com probabilidade de cara igual a p>1/2. O jogo consiste em ganhar R$1 se o lançamento der cara, e perder R$1 se der coroa. Seja X_0 o capital do jogador no início do jogo. Queremos encontrar uma fração ideal de X_0 para apostar em cada lançamento da moeda, de maneira a maximizar o valor esperado do capital após n lançamentos. A solução deste problema é chamada de fração de Kelly e é igual a f = p - q, onde q=1-p.

Um exemplo um pouco mais realista é o jogo de blackjack, no qual era possível obter uma vantagem através de contagem de cartas. Os casinos mudaram o modus operandi do jogo devido aos contadores de cartas como Thorp e o time do MIT, ficcionalizado no filme 21. No blackjack, apesar de ser possível obter uma vantagem através da contagem de cartas, também é necessário fazer apostas em situações desfavoráveis. Thorp explica a estratégia da seguinte maneira. Assuma que o jogador sabe de antemão se uma rodada do jogo é favorável ou não, ou seja, ele conhece p. Nas rodadas favoráveis (nas quais p>0.5), o jogador aposta uma fração f do capital, e nas rodadas desfavoráveis, ele faz uma aposta “de espera” com um valor a \cdot f ,onde 0<a<1. Dado a, podemos obter a fração ótima f.

A apresentação que mencionei mostra outros exemplos, aplicações no mercado financeiro e relação com o paradigma de finanças. O artigo de Thorp e seus livros trazem mais detalhes e exemplos. Aplicações do critério de Kelly em investimento podem ser vistas nos artigos abaixo:

Christensen, Morten. 2005. On the History of the Growth Optimal Portfolio.

Estrada, Javier. 2010. Geometric Mean Maximization: An Overlooked Portfolio Approach? The Journal of Investing, 19, 134–147.

Rubesam, Alexandre; Beltrame, André Lomonaco. Minimum Variance Portfolios in the Brazilian Equity Market. Brazilian Review of Finance, v. 11, n. 1, p. 81-118, may. 2013.

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