Não seja um stock picker (ou a importância da skewness)

Matéria interessante na Bloomberg sobre o impacto da skewness (medida estatística de assimetria) na gestão ativa. 

Muito já foi escrito sobre o fato de que a maioria dos gestores ativos (ou seja, que tentam gerar retornos superiores através da seleção de ações) não conseguem superar os seus benchmarks. Em geral, é ressaltado o fato de que os custos maiores dos fundos ativos em relação aos passivos (que simplesmente replicam o benchmark) tornam mais difícil a um gestor ativo superar o benchmark após custos. De fato, a observação de Sharpe demonstra matematicamente que, na média, o retorno médio da gestão ativa, após custos, é inferior ao da gestão passiva.

O artigo mencionado na matéria da Bloomberg mostra que a skewness, ou assimetria, nos retornos dos ativos, torna a tarefa do gestor ativo mais difícil ainda. Devido ao fato de que o mercado acaba sendo dominado por alguns ativos com retornos muito altos (skewness positiva), se um gestor ativo desvia muito do mercado e não inclui estes ativos, a probabilidade de ele performar abaixo do benchmark é alta. Os autores mostram este efeito através de uma simulação simples. O artigo é curto e vale a pena ler.

Obviamente, isto não significa que não existam gestores ativos que conseguem consistentemente bater seus benchmarks, porém, o estudo mostra que a gestão ativa é ainda mais difícil do que se pensava, pois além dos custos mais altos, a assimetria cria um obstáculo natural.

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A aposta de Warren Buffet

Warren Buffet, um dos investidores mais bem-sucedidos da história, é um crítico das altas taxas cobradas pelos gestores ativos. Em 2005 ele ofereceu publicamente uma aposta de $500k, a serem doados para caridade, a qualquer gestor que conseguisse escolher uma carteira de pelo menos 5 hedge funds que superassem o S&P500 em um período de 10 anos.

Um gestor, Ted Seides, da Protégé Partners, aceitou a aposta e escolheu uma carteira com 5 fundos de Hedge Funds. A aposta começou em 2008. A carteira com os 5 fundos rendeu, até o final de 2016 (9 anos), 2,2% ao ano, enquanto o S&P500 rendeu 7,1%. Buffet estima que as taxas dos fundos e dos hedge funds que os compõe teriam custado aos investidores 60% dos ganhos totais no período.

Detalhes na carta anual da Berkshire Hathaway, empresa de Buffet.

Edward Thorp e o Critério de Kelly

Edward Thorp é um professor de matemática, famoso por ter inventado um sistema elaborado para ganhar no blackjack através de contagem de cartas e por ter sido um dos gestores mais bem sucedidos da história, obtendo retornos anualizados da ordem de 20% ao longo de mais de 20 anos. O fundo de Thorp foi um dos pioneiros em utilizar modelos quantitativos para identificar e explorar anomalias no mercado financeiro. Thorp lançou recentemente sua biografia, o que me lembrou de um material que preparei muito tempo atrás baseado em um artigo seu sobre o Critério de Kelly.

O Critério de Kelly, um dos conceitos utilizados amplamente por Thorp em jogos e no mercado, é uma metodologia matemática para maximizar o crescimento do capital em jogos favoráveis, ou seja, no qual a probabilidade de se ganhar é maior do que 1/2.

21

O exemplo mais simples para entender o Critério de Kelly é considerar um jogo envolvendo o lançamento de uma moeda com probabilidade de cara igual a p>1/2. O jogo consiste em ganhar R$1 se o lançamento der cara, e perder R$1 se der coroa. Seja X_0 o capital do jogador no início do jogo. Queremos encontrar uma fração ideal de X_0 para apostar em cada lançamento da moeda, de maneira a maximizar o valor esperado do capital após n lançamentos. A solução deste problema é chamada de fração de Kelly e é igual a f = p - q, onde q=1-p.

Um exemplo um pouco mais realista é o jogo de blackjack, no qual era possível obter uma vantagem através de contagem de cartas. Os casinos mudaram o modus operandi do jogo devido aos contadores de cartas como Thorp e o time do MIT, ficcionalizado no filme 21. No blackjack, apesar de ser possível obter uma vantagem através da contagem de cartas, também é necessário fazer apostas em situações desfavoráveis. Thorp explica a estratégia da seguinte maneira. Assuma que o jogador sabe de antemão se uma rodada do jogo é favorável ou não, ou seja, ele conhece p. Nas rodadas favoráveis (nas quais p>0.5), o jogador aposta uma fração f do capital, e nas rodadas desfavoráveis, ele faz uma aposta “de espera” com um valor a \cdot f ,onde 0<a<1. Dado a, podemos obter a fração ótima f.

A apresentação que mencionei mostra outros exemplos, aplicações no mercado financeiro e relação com o paradigma de finanças. O artigo de Thorp e seus livros trazem mais detalhes e exemplos. Aplicações do critério de Kelly em investimento podem ser vistas nos artigos abaixo:

Christensen, Morten. 2005. On the History of the Growth Optimal Portfolio.

Estrada, Javier. 2010. Geometric Mean Maximization: An Overlooked Portfolio Approach? The Journal of Investing, 19, 134–147.

Rubesam, Alexandre; Beltrame, André Lomonaco. Minimum Variance Portfolios in the Brazilian Equity Market. Brazilian Review of Finance, v. 11, n. 1, p. 81-118, may. 2013.

Long-Short através de Cointegração – Parte 4

Após uma longa pausa, aqui está o quarto e último post desta série sobre operações de long-short/pares utilizando cointegração.

Recapitulando: no primeiro post da série, introduzi intuitivamente o conceito de cointegração, que permite encontrar pares (ou outras combinações) de ativos que “andam juntos”. No segundo post, expliquei conceitualmente um teste simples de estacionariedade, conhecido como teste de Dickey-Fuller (DF), apresentei sua versão “aumentada”, e introduzi o Método de Engle-Granger, que permite testar se duas séries não-estacionárias são cointegradas. No terceiro post, mostrei um exemplo prático da aplicação deste teste utilizando o Excel e dei uma ideia de como seria uma possível estratégia de operação de pares usando cointegração.

O objetivo deste post é apresentar uma aplicação completa dos conceitos de cointegração para criar um modelo de operações com pares. Para isto, construirei um modelo de pares muito similar aos modelos utilizados na literatura (e na prática), e farei uma simulação (backtest) dos resultados do modelo. Uma ressalva importante é que este post não é exaustivo, no sentido de que muitas variações e refinamentos podem e devem ser feitos à uma estratégia destas antes da produção. O objetivo é simplesmente ilustrar os conceitos. O modelo apresentado aqui é bastante similar ao utilizado no artigo de Caldeira e Moura (2013). Recomendo fortemente ao leitor interessado em se aprofundar no assunto a leitura do artigo e das referências nele citadas.

Em um post anterior, apresentei o conceito de um modelo básico de pares de ações. Naquele post, utilizei o seguinte diagrama:

ModeloPairsTrading

Criação de uma estratégia de operação com pares

Este diagrama será interessante para explicar a estratégia de pares através de cointegração utilizada, pois ele utiliza-se de simulação para escolher os melhores pares dentro da janela de treinamento (período in-sample ou dentro da amostra) para posteriormente operar na janela de operação (fora da amostra), ou seja, existe uma interação entre o modelo de operação e o de seleção de pares, conforme mostrado do diagrama. Vamos à descrição do modelo:

Modelo de Pares via Cointegração

Partimos de um universo com N ativos observados ao longo de T períodos. Os parâmetros do modelo são os seguintes:
1. Janela de treinamento: período no qual serão determinados os pares cointegrados
2. Janela de operação: período no qual os pares são operados com sinais de entrada e saída
3. Número de pares: o modelo utiliza os n melhores pares de acordo com o índice de Sharpe dentro do período de treinamento.
4. Sinal de entrada: valor do z-spread para iniciar um trade, ou seja, o valor no qual assumimos que o spread do par divergiu do seu comportamento histórico.
5. Sinal de saída: valor do z-spread para encerrar um trade, ou seja, o valor no qual assumimos que o spread do par reverteu à sua média.
6. Duração máxima: maior período em que um trade pode ficar aberto.
7. Stop Loss: perda máxima que um trade pode ter. Se um trade apresentar uma perda maior do que o stop loss, ele é encerrado.

Os pares são selecionados na janela de treinamento através de dois critérios. Primeiramente são selecionados os pares que estão cointegrados através da aplicação da metodologia de Engle-Granger. Em seguida, os pares cointegrados são “operados” nesta janela (dentro da amostra) e os pares com melhor índice de Sharpe são selecionados para operação na janela de operação. Os parâmetros do spread (parâmetros da regressão e a média e desvio padrão do spread) na janela de treinamento (dentro da amostra) são utilizados para calcular os z-scores dos pares na janela de operação (fora da amostra). Este procedimento garante que na nossa simulação, estaremos utilizando apenas valores conhecidos em cada momento (ou seja, não estamos incorrendo no look-ahead bias).

Por exemplo, se a janela de treinamento é de 12 meses e de operação é de 1 mês, então os melhores pares nos primeiros 12 meses são operados no mês seguinte. As janelas são então roladas um mês para frente e o processo reinicia, até o final da amostra. A figura abaixo ilustra este procedimento de janelas móveis:

Esquema treinamento operacao.png

A dinâmica de operação é baseada no valor do z-score, que é o spread do par (resultado da cointegração) normalizado, isto é, subtraído da sua média e dividido pelo desvio padrão. Quando o z-score é muito alto e positivo, o par é vendido (abre-se simultaneamente uma posição vendida na primeira ação e comprada na segunda ação). Quando o z-score é muito negativo, a operação oposta é realizada, isto é, o par é comprado. Uma operação é encerrada se pelo menos uma das condições a seguir ocorre: (i) o z-score do par retorna ao patamar pré-definido; (ii) o P&L da operação cai abaixo do valor de stop-loss; (iii) a operação excede a duração máxima definida pelo modelo; (iv) a janela de operação é encerrada.

No final da simulação, temos o resultado simulado de todas operações realizadas, o que permite calcular estatísticas de rentabilidade e risco do modelo no período.

Detalhes da Simulação

Parâmetros do modelo – Os seguintes valores foram utilizados:

Janela de treinamento: 12 meses
Janela de operação: 1 mês
Número de pares: 20
Sinal de entrada: |z-spread| > 1.7
Sinal de saída: |z-spread| < 1.2
Duração máxima: 1 mês (20 dias)
Stop Loss: 7%

Custos operacionais – Foram considerados custos de bid-ask spread de 0.1% para cada operação, de 2% ao ano para o aluguel de ações, e de 0.05% de corretagem. Os trades foram abertos com o mesmo financeiro em cada ação, ou seja, o modelo é financeiro-neutro (a outra possibilidade é operar beta-neutro). Um comentário sobre os valores de entrada e saída do z-score: eu testei os valores considerados por Caldeira e Moura (2013) (abrir trade em 2 e fechar em 0.5/0.75), porém os resultados foram piores.

Universo de ativos – Para realizar a simulação, é preciso primeiramente definir um universo de ativos. Os trabalhos acadêmicos (como por exemplo o artigo mencionado acima) geralmente utilizam as ações que pertencem a um certo índice como o IBOVESPA no Brasil. Na prática, esta restrição não é necessária. Nesta simulação, eu utilizei os dados diários de preço de fechamento e volume de todas as ações, ETFs e FIIs disponíveis no mercado brasileiro de janeiro de 2001 até maio de 2016, incluindo ações que deixaram de existir, o que elimina o viés de sobrevivência. Para evitar ações ilíquidas, em cada janela de treinamento eu utilizei os 70 ativos com maior volume. Isto significa que o número total de ativos considerados será maior do que 70.

Teste de Cointegração – foi utilizada a metodologia de Engle-Granger com teste ADF, descrita nos posts anteriores.

Cálculo de Retornos – calcular o retorno de operações com pares não é algo trivial. Teoricamente, os retornos de operações long-short não são definidos, uma vez que o investimento inicial pode ser igual a zero. Há duas medidas diferentes de reportar o “retorno” de uma operação de pares. A primeira consiste  em adotar a convenção de que o retorno é dado pelo lucro ou prejuízo da operação (P&L) dividido pelo valor inicial investido em cada ponta. Chamaremos isto de retorno líquido. Se usarmos o valor de R$1, o próprio P&L tem a interpretação de retorno. A segunda consiste em considerar como denominador o capital alocado para manter a operação. Por exemplo, se uma operação consiste em comprar R$10,000 da ação A e vender R$10,000 da ação B, o valor necessário para montar esta operação é igual a R$0. Na prática, as corretoras requerem uma quantia em margem que limita a alavancagem. Esta quantia pode ser usada como denominador para definir um retorno sobre o capital. É importante ressaltar que este capital pode ficar investido em outros ativos que geram retornos (por exemplo, títulos do governo), o que tornará a estratégia mais rentável. Como o número máximo de pares em qualquer período de operação é de 20 pares, eu calculo e reporto os retornos considerando 1/20 do capital investido em cada par, ou seja, a alavancagem máxima da carteira é 1 (esta restrição não é necessária). Reportarei tanto os retornos líquidos (ou seja os retornos apenas das operações com pares) como os retornos sobre o capital, considerando que o capital excedente renderia 100% do CDI. Caldeira e Moura (2013) consideram um esquema “fully invested” no qual um certo capital é 100% investido nos pares que estão abertos, e a carteira é rebalanceada para manter 100% do capital investido.

Resultados da Simulação (01/2002 – 05/2016)

O modelo foi simulado de janeiro de 2001 até maio de 2016. Isto significa que o primeiro período de operação foi janeiro de 2002. A tabela abaixo resume os resultados considerando os retornos líquidos das operações. Observação: o P&L abaixo não está normalizado para a duração de cada operação.

Número de ações 162
Número de pares operados 1212
Número de operações 3817
P&L médio por operação (financeiro de R$1,00) 1.12%
Desvio padrão P&L 9.34%
Razão de informação 0.12
% operações ganhadoras 57.20%
% operações perdedoras 42.80%
Pior P&L -58.90%
Melhor P&L 84%
Mediana P&L 1.33%
Duração média (dias) 5.35
Duração mediana (dias) 4

Vemos que a estratégia parece capaz de gerar ganhos financeiros razoáveis, com uma convergência rápida da maioria das operações. O gráfico abaixo mostra o histograma da duração em dias das operações. Mais de 85% das operações encerra em menos de 10 dias. duracao

Resultados com Retornos Líquidos

Os resultados abaixo são baseados nos retornos líquidos da carteira que investe 1/20 do capital em cada par, sem considerar a remuneração do capital. Como mencionei antes, esta estratégia não ficará com 100% do capital alocado nos pares, a não ser que todos os 20 pares estejam abertos simultaneamente. Vemos que a estratégia apresentou um retorno médio de 11.4% com volatilidade de 11.21%, o que não é ruim considerando que a estratégia não toma risco direcional. O drawdown máximo foi de -14.5%. Vemos que, apesar de a estratégia ser financeiro-neutra, o que é confirmado pela exposição média da carteira de 0.35%, ela teve períodos em que chegou as estar quase 10% comprada e quase 16% vendida. O maior valor short foi de -68.66% e o maior long foi de 74.92%, confirmando que não tivemos nenhum período em que todos os 20 pares estavam abertos simultaneamente. Estes resultados são conservadores, pois assumem que o capital fica parado, ou seja, poderia estar sendo investido nos pares que estão abertos. Apesar de a estratégia diferir da de Caldeira e Moura (2013) em vários aspectos, os resultados para o período do artigo (2002 a 2006) são muito similares (não reportados).

Retorno médio 11.40%
Volatilidade 11.21%
Retorno total 327.89%
Índice de Sharpe 1.02
Drawdown máximo -14.50%
Pior mês -7.58%
Melhor mês 19.89%
% dias positivos 45.96%
% meses positivos 61.27%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.67%
Exposição mínima carteira -15.98%
Máximo short carteira -68.66%
Máximo long carteira 74.92%

A tabela abaixo mostra os retornos por ano. Notamos que a estratégia foi positiva em todos os anos, com retornos muito altos entre 2008 e 2010. Isto não é surpreendente, já que estratégias long-short tendem a ser muito boas em períodos de volatilidade alta.

Ano Retorno líquido (%)
2002 3.37
2003 6.96
2004 10.25
2005 8.68
2006 10.5
2007 9.22
2008 16.74
2009 37.85
2010 18.9
2011 8.49
2012 5.45
2013 0.43
2014 9.48
2015 4.38
2016 6.53

Finalmente, a figura abaixo mostra a evolução do P&L acumulado.

pnlacumulado.png

Resultados com Remuneração do Capital (2002-2016)

Na prática, uma estratégia de pares requer pouco capital, o que significa que quase 100% do capital poderia ficar investido em títulos (ou qualquer ativo que seja aceito como margem) a maior parte do tempo. Os fundos em geral definem um target  de alavancagem ou volatilidade para a estratégia. Os resultados abaixo consideram que o capital livre é remunerado a 100% do CDI. O investimento nos pares segue a mesma regra de 1/20 do capital, ou seja, a alavancagem nunca é superior a 1.

Os resultados abaixo mostram a grande contribuição de investir o capital livre. Vemos que o retorno médio, muito mais alto, é uma combinação do retorno da estratégia pura (mostrado anteriormente) com a rentabilidade do CDI. Obviamente, os resultados são bastante aumentados pelo alto valor do CDI, principalmente no início do período. Os resultados por ano (tabela seguinte) corroboram isto. O retorno total é muito alto devido à natureza dos juros compostos, uma vez que a estratégia reinveste os lucros a cada período.

Retorno médio 26.38%
Volatilidade 11.36%
Retorno total 2497.02%
Índice de Sharpe 2.32
Drawdown máximo -14.74%
Pior mês -6.66%
Melhor mês 20.97%
% dias positivos 59.89%
% meses positivos 85.55%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.71%
Exposição mínima carteira -16.46%
Máximo short carteira -70.54%
Máximo long carteira 75.21%
Ano Retorno líquido (%)
2002 22.64
2003 31.6
2004 27.88
2005 29.04
2006 27.46
2007 22.65
2008 31.59
2009 51.41
2010 30.62
2011 21.14
2012 14.31
2013 8.53
2014 21.34
2015 18.17
2016 11.21

O gráfico abaixo mostra o retorno acumulado da carteira e do CDI. pnlacumulado-com-capital

Resultados com Remuneração do Capital (2010-2016)

Os resultados acima mostram que a estratégia funciona em um período longo (15 anos), durante a qual houve períodos atípicos (juros muito altos, crise de 2007-2008 etc). Por este motivo, é interessante avaliar o resultado da estratégia em um período mais recente. Para isto rodamos a simulação de 2010 a 2016. Os resultados (tabela e gráfico abaixo) mostram um resultado muito consistente. Tanto a volatilidade como o retorno são mais baixos, reflexo da exclusão do período de alta volatilidade da crise de 2007-2008 e do período de CDI muito alto. O drawdown máximo é cerca de metade do observado no período anterior.

Retorno médio 20.07%
Volatilidade 9.44%
Retorno total 208.97%
Índice de Sharpe 2.13
Drawdown máximo -7.25%
Pior mês -4.10%
Melhor mês 7.79%
% dias positivos 59.13%
% meses positivos 85.71%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.06%
Exposição mínima carteira -5.68%
Máximo short carteira -67.73%
Máximo long carteira 74.48%

pnlacumulado-com-capital-2010-2016

Considerações Finais

Este post encerra a série de Long-Short através de cointegração e teve o objetivo de apresentar um exemplo de um modelo completo usando este conceito. O modelo apresentado teve desempenho muito forte ao longo de um período de 15 anos, com uma consistência impressionante. Alguns comentários são importantes:

  • Refinamentos – o modelo apresentado é bastante simplista. Uma implementação deste modelo na vida real requer um estudo mais aprofundado em termos dos parâmetros. Em especial, destacaria os seguintes pontos: a estabilidade da relação de cointegração e testes alternativos de cointegração (como o teste de Johansen); estudo das regras de abertura e fechamento das operações); modelagem do spread através de modelos de séries temporais (ver Tsay 2010) e estimação do z-score.
  • Caveats da simulação – a simulação usando os dados de fechamento é simplista demais. Mesmo que o horizonte do modelo seja dados diários, o ideal seria utilizar os preços da ações em um determinado horário do dia, e capturar o bid-ask observado das ações, que reflete melhor o custo de compra e venda dos ativos de maneira. Além disto, usando dados de alta frequência é possível simular se um par daria sinais de entrada ou saída durante o dia.
  • Operacionalização – fazer a simulação é o primeiro passo, mas implementar uma estratégia destas requer sofisticação no controle da carteira de pares e principalmente habilidade de executar ordens de maneira automática e rápida.
  • Controle de riscos – uma estratégia destas requer controles de riscos ativo, principalmente no que toca à concentração em ativos e setores.

Update – comparação β-neutro vs $-neutro

Os resultados mostrados acima foram obtidos com a abordagem $-neutra, ou seja, as operações são abertas com o mesmo valor financeiro comprado e vendido. Do ponto de vista teórico, existe um argumento a favor de utilizar a abordagem β-neutra, na qual opera-se uma quantidade β de um dos ativos para cada uma quantidade do outro (onde o β é obtido da regressão de cointegração), já que desta maneira, a posição operada (desde que o par seja cointegrado) é estacionária. Na abordagem β-neutra, a exposição líquida da carteira pode variar mais e a carteira pode ficar net comprada ou net vendida, pois o valor financeiro nas pontas não é necessariamente igual. Uma vantagem de manter a carteira $-neutra é que o valor líquido da carteira é mais previsível e não está sujeito ao erro de estimação do beta.

Para comparar as duas abordagens, rodei o modelo β-neutro e o modelo $-neutro para o período 2010-2016, ajustando as exposições dos dois modelos para obter a mesma volatilidade de 12% (um valor arbitrário, mas que garante comparabilidade e alavancagem relativamente baixa). Os resultados obtidos com o modelo β-neutro foram piores do que os do modelo $-neutro. O retorno médio do modelo β-neutro foi de 17.31%, enquanto o do modelo $-neutro foi de 23.70%. Os índices de Sharpe e Sortino também foram piores, apesar de o modelo $-neutro apresentar um drawdown máximo maior.

Outro ponto interessante é a exposição líquida da carteira. Conforme esperado, a carteira $-neutra, por construção, mantém uma alocação líquida próxima de zero, com uma exposição média de 0.46% do capital, máxima de 12.32% e mínima de -5.44%. Ela não fica completamente zerada devido às movimentações dos ativos nas operações abertas, já que uma vez que uma operação é aberta, ela não é rebalanceada. Já a carteira β-neutra fica net vendida 7% do capital, na média, com uma exposição net máxima de 0.62% e mínima net de -56.12%. Isto significa que o custo de aluguel desta operação é maior, pois é preciso carregar uma posição short maior do que a posição long.

β-neutro $-neutro
Retorno médio 17.31% 23.7%
Volatilidade 12% 12%
Retorno total 162.06% 266.58%
Índice de Sharpe 0.57% 1.1%
Drawdown máximo -8.38% -9.83%
Pior mês -5.18% -6.56%
Melhor mês 8.94% 12.88%
% dias positivos 56.94% 58.32%
% meses positivos 72.73% 77.92%
Exposição média carteira -7.00% 0.46%
Exposição máxima carteira 0.62% 12.32%
Exposição mínima carteira -56.12% -5.44%
Máximo short carteira -116.14% -89.01%
Máximo long carteira 79.21% 100.19%

O gráfico abaixo apresenta a comparação do P&L acumulado das duas versões. beta-neutro

Referências

Os artigos abaixo são úteis para aprofundar o estudo deste tipo de modelo. Este post possui links para o download destes artigos.

Caldeira, J. F. e Moura, G.V. (2013), Rev. Bras. Finanças, Vol. 11, No. 1, March 2013, pp. 49–80.

Gatev, E., Goetzmann, W. N., & Rouwenhorst, K. G. (2006). Pairs Trading: Performance of a Relative Value Arbitrage Rule. The Review of Financial Studies, 19, 797–827.

Avellaneda, M., & Lee, J. (2010). Statistical arbitrage in the US equities market. Quantitative Finance, 10, 1–22.

Tsay, R. (2010). Analysis of Financial Time Series. Wiley.

 

 

 

 

Linkfest – Low vol e alocação de classes de ativos

Alguns links interessantes que valem a pena a leitura.

1. Histórico da anomalia de volatilidade via Alpha Architect.

2. Série de artigos do excelente blog GestaltU sobre alocação adaptativa de ativos, focando na diferença entre a contribuição da alocação a classes de ativos vs alocação a ativos individuais, usando análise de componentes principais.

Parte 1

Parte 2

Parte 3

Parte 4

Comparação de alocações de ativos

Post interessante comparando diversas alocações propostas por gestores institucionais.

Interessante notar que uma taxa de administração de apenas 1% elimina qualquer distinção entre as alocações mais diferentes. Ou seja, manter investimentos de custo baixo (como ETFs por exemplo) é mais importante no longo prazo do que as diferenças entre alocações balanceadas entre várias classes de ativos.

Artigo sobre construção de carteiras

Cullen Roche, do Pragmatic Capitalism, tem um novo artigo sobre contrução de carteiras. O trabalho resume sucintamente a história da construção de carteiras e toca em várias pontos que tem sido discutidos recentemente em Finanças, com impactos importantes tanto do ponto de vista prático como acadêmico:

  • O único “almoço grátis” em alocação de ativos é a diversificação
  • O debate de investimento passivo (seguir índices) vs ativo (ganhar do mercado), bastante relacionado com o conceito de eficiência no mercado. O Roche defende a tese de que só existe uma carteira verdadeiramente passsiva, que é a carteira formada por todos os ativos financeiros disponíveis no mundo (ele chama esta carteira de Global Financial Asset Portfolio ou GFAP). Qualquer estratégia que divirja desta alocação é, por necessidade, uma estratégia ativa de investimento, pois envolve uma seleção de ativos por parte do investidor.
  • A busca ilusória pelo alfa (retorno superior ao do mercado) – no nível global, não existe alfa, só diferentes tipos de beta (exposição a fatores sistêmicos de risco). A busca pelo alfa gera altos custos e é, para a maioria dos investidores, desnecessária. É mais eficiente e melhor focar em reduzir custos e otimizar os impostos, pois estes são os fatores mais importantes sob os quais o investidor possui algum nível de controle. Eu adicionaria que o fator mais importante ainda é a taxa de poupança.
  • Diferenças entre a percepção de risco dos alocadores ou poupadores (perda financeira permanente ou perda do poder compra ) e dos gestores (divergência do benchmark) – isto é muito importante, pois os incentivos dos gestores não são, em gera, alinhados com o dos poupadores ou investidores.
  • Importância das taxas e impostos no cálculo de retornos reais (o que o Roche chama de real, real returns, i.e o retorno após todas as taxas e impostos, e descontado o efeito da inflação).

Eu havia comentado sobre muitos dos pontos deste artigo (que o Roche já havia feito em seu livro) no post Como Investir. Gosto muito deste tipo de abordagem, pois deixa clara a necessidade de definir metas de investimento e perfil de risco, e desenhar uma estratégia de investimento compatível com isto; implementar a estratégia através de ETFs ou fundos com baixas taxas de administração; e ter disciplina na hora de rebalancear e fazer aportes periódicos na carteira.

 

ETFs – Ações de baixa volatilidade

Comentei recentemente sobre a criação de um índice de ações baseado em uma carteira de volatilidade mínima global para o mercado brasileiro, e como seria bom se existisse um ETF seguindo este índice.

No mercado americano e internacional, já existem diversos ETFs deste tipo há alguns anos. Nos EUA, os dois ETFs de ações de baixa volatilidade mais populares são o SPLV (PowerShares S&P 500 Low Volatility), que tem aproximadamente U$ 6 bi em ativos, e o USMV (iShares MSCI USA Minimum Vol), que possui aproximadamente $10 bi em ativos. Os ETFs possuem diferenças importantes na metodologia, no universo de ações e no custo. Enquanto o SPLV é composto pelas 100 ações com menor volatilidade (desvio padrão de 252 dias) dentro do universo do S&P500, o USMV parte do universo com todas as ações dos EUA, e utiliza otimização para determinar a carteira com menor volatilidade. Os custos anuais: 0,25% ao ano (SPLV) e 0,15% ao ano (USMV).

Por causa destas diferenças, o SPLV possui maior alocação em ações de grandes empresas (já que o S&P 500, por definição, inclui as 500 maiores empresas) e tem menor diversificação do que o USMV. Para mim, o USMV é claramente a melhor opção: mais barato e mais diversificado.

O gráfico abaixo mostra o histórico do retorno total dos ETFs no último ano, e de um índice que representa o mercado americano. Conforme esperado, nos períodos de maior volatilidade, como o que temos passado desde o meio de 2015, ambos superam o retorno total do mercado. O mercado total perdeu aproximadamente 6% no último ano, enquanto os ETFs de baixa vol quanharam aproximadamente 3%, uma diferença notável. Em períodos de bull market, porém, a tendência é de estas estratégias ganharem menos do que mercado, já que carregam mais em ações com beta baixo.

US low vol etfs

Como mensurar a independência financeira através de simulações de Monte Carlo

Em um post passado e no artigo que o acompanha, falei sobre a matemática da independência financeira. A ideia do post era mostrar, através de cálculos simples, o impacto das principais variáveis que afetam a acumulação de riqueza e a possibilidade de alcançar a independência financeira:

  • Patrimônio líquido atual
  • Taxa de poupança
  • Gastos futuros
  • Taxa de retorno
  • Taxa de inflação
  • Duração do período de acumulação

Usando um modelo simples com aportes mensais constantes, exploramos algumas fórmulas fechadas para o valor futuro do patrimônio, o tempo de duração do patrimônio após a “aposentadoria” etc. Como mencionei na época, as fórmulas obtidas são assumidamente simplistas, pois assumem retornos, inflação, poupança e gastos constantes. Mas os resultados são interessantes, pois dão uma aproximação de quanto é necessário poupar para ter uma certa renda passiva.

No artigo, comentei sobre a possibilidade de tornar os cálculos mais realistas, por exemplo assumindo uma dinâmica estocástica para as taxas de retorno e inflação. No mundo real, estas taxas são variáveis e suas trajetórias podem influenciar – e muito – o valor da carteira. Pense por exemplo em um investidor com alocação em ações que planejava se aposentar em 2008.

A ideia é, ao invés de usar taxas de retorno/inflação constantes, utilizar um modelo de simulações de Monte Carlo para simular as trajetórias das taxas de retorno e inflação e, consequentemente, do patrimônio do investidor. Ao repetir a simulação diversas vezes, podemos construir a distribuição do valor do patrimônio futuro, o que permite ter uma ideia da probabilidade de atingir o patrimônio desejado.

Construção do Modelo e Suposições

Assumimos um processo de investimento muito simples. O investidor tem uma certa renda líquida mensal, e poupa uma porcentagem desta renda todo mês. Se chamarmos a renda de R , e a taxa de poupança de p, então o valor do aporte a cada mês é A_t = R \times p, e o valor do gasto mensal é R \times (1-p). O valor do patrimônio a cada mês é dado pela seguinte expressão:

P_t = P_{t-1}(1+ r_t) + A_t ,

onde r_t representa o retorno da carteira do investidor naquele mês. Ou seja, o valor da carteira neste mês é igual ao valor da carteira no mês passado, multiplicado pelo retorno da carteira, acrescido do valor do aporte mensal.

Para o modelo probabilístico de evolução dos retornos, vamos assumir que existem dois ativos: o mercado de ações e o mercado de renda fixa. Vamos representar o mercado de ações pelo índice IBrX, e o mercado de títulos do governo pelo índice de renda fixa IMA da ANBIMA. O investidor aloca x\% no mercado de ações, e o restante (1-x \%) em títulos do governo. Isto permite criar uma carteira bastante balanceada e diversificada entre ações e títulos. O retorno da carteira do investidor é dado por

r_t = x r^A_t + (1-x)r^T_t ,

onde r^A_t é o retorno do mercado de ações (IBrX) e r^T_t é o retorno da carteira de títulos do governo (índice IMA). Usando dados históricos, podemos estimar a média e volatilidade de cada índice, assim com a correlação entre os dois. Os resultados obtidos usando a amostra de janeiro de 2000 a fevereiro de 2016 foram os seguintes:

Ações (IBrX) Títulos do governo (IMA)
Anual Mensal Anual Mensal
Média 11.5% 0.9% 14.5% 1.1%
Volatilidade 26.5% 7.6% 2.6% 0.7%

A correlação entre os dois índices foi de aproximadamente 24%. Isto nos permite calcular a média e volatilidade de qualquer alocação entre os dois ativos*. Por exemplo, uma carteira com 50% de alocação para cada ativo teria a seguinte média e volatilidade:

Carteira
Anual Mensal
Média 13.0% 1.1%
Volatilidade 13.6% 3.9%

A cada mês, simulamos o retorno mensal da carteira usando uma distribuição normal com a média e volatilidade da carteira**.

Para a inflação, utilizei os dados do IPCA, que dão uma inflação média de 0,55% ao mês, com volatilidade de 0,39%. A inflação mensal é simulada de uma distribuição normal com estes parâmetros***. Note que, com a alocação acima para a carteira, isto implica em um retorno real esperado de aproximadamente 6,5% ao ano, bastante generoso. Se olharmos os resultados do último ano, o retorno nominal e real desta carteira foram negativos. O aporte mensal é corrigido pela inflação a cada 12 meses, refletindo o aumento na renda em linha com a inflação. Note que não há suposição de aumento real da renda.

Com esta dinâmica, podemos simular diversos caminhos (trajetórias) para o patrimônio do investidor. O gráfico abaixo mostra uma destas simulações com horizonte de 20 anos (240 meses) com x = 50\% e p=50\%, assim como o valor da carteira se os retornos fossem constantes. Partimos de uma renda de $1, apenas para ter uma base de comparação entre diversas simulações. Nesta simulação, o saldo final da carteira ficou abaixo do saldo se os retornos fossem constantes.

SaldoFinal1simulacaoO gráfico abaixo apresenta 200 trajetórias para o saldo mensal, assim como os percentis de 10% e 90% do saldo de cada mês.

SaldoFinal200simulacao

Descontando a inflação e dividindo o saldo final pelo valor do custo anual (em valor presente, ou seja, dinheiro de hoje), podemos estimar estatísticas para o patrimônio acumulado em termos do número de anos de despesa equivalente. Ou seja, após um certo período de acumulação, quantos anos seria possível viver da renda passiva da carteira. Como mostrei no artigo anterior, um valor de 25 anos de despesa é, em geral, suficiente para sobreviver indefinidamente (considerando que as despesas não aumentem em termos reais). Isto equivale a viver com uma retirada anual de 4% do patrimônio. Por exemplo, se o custo de vida anual for de R$72k (R$6k por mês), seria necessário acumular R$1,8 milhões de reais.

O gráfico abaixo mostra a mediana do saldo final (como proporção do número de anos de despesa) baseado em 5000 simulações, com diferentes horizontes. Vemos que os resultados são muito mais conservadores do que os da Figura 2 do artigo, devido ao efeito da volatilidade dos retornos e da inflação. Por exemplo, com uma taxa de poupança de 40% e retorno real de 6,5%, a Figura 2 do artigo mostrava que seriam necessários pouco menos de 20 anos para alcançar um patrimônio de 25 vezes a despesa anual. Com a inclusão do efeito da volatilidade nos retornos, vemos que seriam necessários aproximadamente 25 anos para ter uma probabilidade de 50% de alcançar o objetivo.

MedianasSaldoFinalAo calcular os percentis 10% e 90% das distribuições, podemos ter uma ideia do pior e melhor caso (com 10% de confiança) para cada horizonte. Os gráficos abaixo mostram estas curvas para diferentes horizontes (5, 10, 15 e 20 anos) e para % de poupança. Com isto podemos ter uma ideia melhor de como atingir um certo patamar de patrimônio com uma margem de segurança. Por exemplo, suponha que o objetivo seja alcançar um patrimônio equivalente a 25 anos de despesas, com uma margem de segurança de 10%. Para isto, precisamos procurar em cada gráfico abaixo, qual a taxa de poupança tal que a curva do percentil 10% (curva azul) está acima de 25 anos de despesa no eixo vertical (representada pela reta laranja).

Para o período de 5 anos de acumulação de patrimônio, vemos que seria necessária uma taxa de poupança superior a 80%. Para 10 anos, seria ligeiramente acima de 70%. Para 15 anos, acima de 60% e para 20 anos, acima de 50%.

5 anos

5 anos

10 anos

10 anos

15 anos

15 anos

20 anos

20 anos

Finalmente, dada uma taxa de poupança fixa, podemos estimar diretamente a probabilidade de alcançar um certo objetivo através dos resultados das simulações. O gráfico abaixo mostra a distribuição do saldo após 10 anos de acumulação de patrimônio, com taxa de poupança de 50%. Com base nos dados usados para criar este histograma, podemos calcular a probabilidade de superar o objetivo de um patrimônio de 25 vezes a despesa anual (basta contar o número de simulações em que o saldo de 10 anos trazido a valor presente superou 25, e dividir pelo número de simulações, que neste caso foi de 5000). O resultado: a probabilidade de alcançar o objetivo em 10 anos com uma taxa de poupança de 50% é menor do que 1%. Faz bastante sentido, já que com 50% de poupança, a cada ano trabalhado economiza-se o suficiente para viver por 1 ano (excluindo efeito de juros e inflação), logo apenas em cenários extremamente favoráveis seria possível acumular tanto dinheiro. A mediana no caso abaixo é de 13 anos, refletindo o fato de o retorno real ser positivo.

HistogramaSaldoFinal10anos

Conclusões

O objetivo deste post foi mostrar como aplicar simulações de Monte Carlo para simular o valor do patrimônio de um investidor, usando um modelo simples de poupança/investimento e da dinâmica estocástica dos ativos do mercado.

Os resultados mostram-se mais conservadores em comparação ao modelo sem aleatoriedade, o que é esperado, pois permitem maior variabilidade nos rendimentos e na inflação. A técnica também permite estimar a probabilidade de atingir um certo objetivo em um dado horizonte.

Este modelo pode ser expandido para criar um simulador ainda mais realista, que permita incluir renda de ativos imobiliários, diferentes dinâmicas de gastos antes e depois do período de acumulação, utilização de contribuições previdenciárias, FGTS etc.

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* O retorno médio da carteira é

\mathbb{E}(r_t) = x \mathbb{E}(r^A_t) + (1-x)\mathbb{E}(r^T_t)

\mu = x \mu^A + (1-x)\mu^B

e a variância da carteira é

Var(r_t) = x^2 Var(r^A_t) + (1-x)^2Var(r^T_t) +2 x(1-x)Cov(r^A_t,r^T_t)

Var(r_t) = x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T

E portanto a volatilidade da carteira é

\sigma = \sqrt{x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T}

** A escolha da distribuição normal é arbitrária e não muito realista, já que os retornos de ativos financeiros raramente seguem distribuições normais. Além disto, a volatilidade dos ativos financeiros não é constante. Porém, para demonstrar o conceito, decidi manter a maior simplicidade possível.

A geração dos cenários (valores dos retornos) é extremamente simples de ser feita. Lançamos mão de um resultado de Estatística que mostra que podemos gerar valores de quase qualquer distribuição de probabilidade através de números aleatórios de uma distribuição uniforme. O processo consiste em gerar um número aleatório uniforme (função ALEATÓRIO no Excel) e aplicar o inverso da função de distribuição acumulada que queremos gerar. Portanto para gerar um número de uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma, basta usar no Excel a expressão INV.NORM(ALEATÓRIO, mu, sigma).

*** O mais correto seria modelar a distribuição conjunta das três variáveis (mercado de ações, de títulos e inflação). Novamente, optei por mantes a simplicidades.

Todas as ações da BOVESPA – Fev 2016

Update do post regular com algumas estatísticas das ações da BM&FBOVESPA, ordenadas por volatilidade.

Interessante notar a relação negativa entre volatilidade e beta e retornos realizados, o contrário do esperado de acordo com a teoria de finanças.

Vol vs Ret Fev2016

Beta vs Ret Fev2016

Ticker Nome Setor Volatilidade Beta Retorno 1 mês Retorno 1 ano
ABEV3 AMBEV SA ON Consumo não Cíclico 22.56% 0.58 11.10% 5.39%
CTIP3 CETIP ON Financeiro e Outros 23.19% 0.54 -0.63% 15.70%
COCE5 COELCE PNA Utilidade Pública 23.91% 0.3 -0.82% -15.16%
EQTL3 EQUATORIAL ON Utilidade Pública 24.71% 0.52 8.97% 44.52%
WEGE3 WEG ON Bens Industriais 25.52% 0.3 -1.02% -8.10%
UGPA3 ULTRAPAR ON Financeiro e Outros 25.58% 0.76 8.66% 11.86%
LEVE3 METAL LEVE ON Bens Industriais 25.79% 0.21 0.21% 19.68%
BRFS3 BRF FOODS ON Consumo não Cíclico 26.19% 0.5 18.09% -13.66%
CGAS5 COMGAS PNA Utilidade Pública 26.57% 0.27 26.15% 22.01%
ODPV3 ODONTOPREV ON Consumo não Cíclico 26.62% 0.4 10.57% 5.78%
MDIA3 MDIASBRANCOON Consumo não Cíclico 28.30% 0.44 6.47% -23.85%
TBLE3 TRACTEBEL ON Utilidade Pública 28.48% 0.73 14.45% 15.23%
EMBR3 EMBRAER ON Bens Industriais 28.49% 0.32 7.95% 15.47%
TRPL4 TRAN PAULISTPN Utilidade Pública 28.50% 0.5 10.80% 15.02%
VIVT4 TELEF BRASILPN Telecomunicações 28.71% 0.62 11.28% -27.31%
SSBR3 SIERRABRASILON Financeiro e Outros 29.11% 0.36 -6% -6.63%
TUPY3 TUPY ON Bens Industriais 29.96% 0.24 -8.11% 7.30%
CYRE3 CYRELA REALTON Construção e Transporte 29.97% 0.72 14.01% -25.73%
FLRY3 FLEURY ON Consumo não Cíclico 30.12% 0.31 7.25% 12.44%
CIEL3 CIELO ON Financeiro e Outros 30.20% 0.67 -1.23% -9.28%
ITUB3 ITAUUNIBANCOON ED Financeiro e Outros 30.33% 0.97 10.48% -16.36%
GUAR3 GUARARAPES ON Consumo Cíclico 30.45% 0.41 15.71% -43.71%
MULT3 MULTIPLAN ON Financeiro e Outros 30.79% 0.8 13.98% -11.93%
RADL3 RAIADROGASIL ON Consumo não Cíclico 30.79% 0.44 17.99% 68.44%
LREN3 LOJAS RENNERON INT Consumo Cíclico 30.80% 0.78 7.78% 13.56%
HYPE3 HYPERMARCAS ON Consumo não Cíclico 30.98% 0.68 13.79% 33.86%
LAME4 LOJAS AMERICPN Consumo Cíclico 31.19% 0.83 10.89% 21.30%
GRND3 GRENDENE ON Consumo Cíclico 31.35% 0.48 4.61% 8.88%
VLID3 VALID ON Bens Industriais 31.47% 0.42 10.15% -7.42%
KLBN4 KLABIN S/A PN Materiais Básicos 31.60% 0.42 1.38% 18.35%
ALSC3 ALIANSCE ON Financeiro e Outros 31.64% 0.79 1.42% -30.98%
PCAR4 PACUCAR-CBDPN Consumo não Cíclico 31.64% 0.8 28.29% -51.90%
ABCB4 ABC BRASIL PN Financeiro e Outros 31.65% 0.69 10.13% -19.82%
MPLU3 MULTIPLUS ON Consumo Cíclico 31.97% 0.37 -15.79% -16.90%
LAME3 LOJAS AMERIC ON Consumo Cíclico 32.04% 0.79 9.23% -4.96%
IGTA3 IGUATEMI ON Financeiro e Outros 32.18% 0.76 9.03% -17.46%
LINX3 LINX ON Tecnologia da Informação 32.25% 0.26 1.07% -3.50%
ITSA4 ITAUSA PN Financeiro e Outros 32.29% 1.12 7.76% -21.82%
SMTO3 SAO MARTINHOON Consumo não Cíclico 32.77% 0.49 3.01% 36.50%
RENT3 LOCALIZA ON Consumo Cíclico 33.56% 0.78 13.23% -30.72%
SLCE3 SLC AGRICOLAON Consumo não Cíclico 33.63% 0.25 11.51% 29.66%
FIBR3 FIBRIA ON Materiais Básicos 33.90% 0.07 -7.94% 17.52%
PSSA3 PORTO SEGUROON Financeiro e Outros 33.96% 0.56 10.35% -8.22%
ITUB4 ITAUUNIBANCOPN ED Financeiro e Outros 33.99% 1.2 10.89% -18.90%
TOTS3 TOTVS ON Tecnologia da Informação 34.20% 0.49 13.43% -6.72%
ALPA4 ALPARGATAS PN Consumo Cíclico 34.67% 0.45 3.90% 6.61%
EZTC3 EZTEC ON Construção e Transporte 34.69% 0.8 9.69% -12.60%
DTEX3 DURATEX ON Materiais Básicos 35.13% 0.82 30.90% -14.12%
SUZB5 SUZANO PAPELPNA INT Materiais Básicos 35.25% 0.06 2.27% 25.85%
BBDC3 BRADESCO ON EDJ Financeiro e Outros 35.49% 1.22 23.34% -20.83%
ARTR3 ARTERIS ON Construção e Transporte 35.65% 0.42 3.50% -12.44%
BEEF3 MINERVA ON Consumo não Cíclico 35.71% 0.53 4.13% 43.60%
CESP6 CESP PNB Utilidade Pública 35.92% 0.75 23.31% -23.63%
CSAN3 COSAN ON Consumo não Cíclico 36.05% 0.9 9.11% -5.17%
BBDC4 BRADESCO PN EDJ Financeiro e Outros 36.16% 1.29 20.61% -28.33%
ENBR3 ENERGIAS BR ON Utilidade Pública 36.25% 0.8 14.22% 47.11%
BVMF3 BMFBOVESPA ON Financeiro e Outros 36.48% 1.13 11.85% 23.08%
CPFE3 CPFL ENERGIAON Utilidade Pública 36.48% 0.99 16.35% -2.33%
NATU3 NATURA ON Consumo não Cíclico 36.61% 0.78 29.63% 1.03%
MYPK3 IOCHP-MAXION ON Bens Industriais 37.18% 0.52 -5.30% -13.91%
MRVE3 MRV ON Construção e Transporte 37.33% 0.87 17.09% 44.75%
SBSP3 SABESP ON Utilidade Pública 37.50% 0.82 18.62% 50.72%
MAGG3 MAGNESITA SAON Materiais Básicos 37.58% 0.34 11.82% 66.77%
ARZZ3 AREZZO CO ON Consumo Cíclico 37.85% 0.62 -3.56% -24.82%
CCRO3 CCR SA ON Construção e Transporte 38.19% 0.99 15.89% -18.45%
QUAL3 QUALICORP ON Consumo não Cíclico 38.46% 0.61 1.10% -40.43%
CPLE6 COPEL PNB Utilidade Pública 38.54% 0.98 27.89% -21.35%
AMAR3 LOJAS MARISA ON Consumo Cíclico 38.64% 0.47 57.53% -48.36%
JSLG3 JSL ON Construção e Transporte 38.73% 0.51 0% -33.68%
EVEN3 EVEN ON Construção e Transporte 38.83% 0.87 15.25% 10.63%
BRML3 BR MALLS PARON Financeiro e Outros 39.06% 1.12 19.26% -16.14%
CPLE3 COPEL ON Utilidade Pública 39.06% 0.87 23.67% -24.50%
TIMP3 TIM PART S/AON Telecomunicações 39.13% 0.65 6.65% -45.94%
TCSA3 TECNISA ON Construção e Transporte 39.18% 0.76 2.47% -27.83%
HGTX3 CIA HERING ON Consumo Cíclico 39.90% 0.65 14.53% -12.58%
RAPT4 RANDON PART PN Bens Industriais 40.12% 0.82 3.68% -52.59%
DIRR3 DIRECIONAL ON Construção e Transporte 42.27% 0.71 23.12% -26.89%
ECOR3 ECORODOVIAS ON Construção e Transporte 42.63% 0.95 28.82% -56.81%
BRPR3 BR PROPERT ON Financeiro e Outros 43.28% 0.72 10.65% -16.72%
BRKM5 BRASKEM PNA Materiais Básicos 43.64% 0.53 7.55% 113.49%
QGEP3 QGEP PART ON Petróleo 43.86% 0.81 -2.53% -33.21%
JHSF3 JHSF PART ON Construção e Transporte 44.45% 0.72 4.92% -38.16%
HBOR3 HELBOR ON Construção e Transporte 44.54% 0.7 8.61% -52.98%
LIGT3 LIGHT S/A ON Utilidade Pública 44.67% 0.87 34.46% -29.81%
ELET6 ELETROBRAS PNB Utilidade Pública 45.08% 1.07 19.95% 58.25%
VALE5 VALE PNA Materiais Básicos 45.29% 1.04 39.67% -48.52%
GFSA3 GAFISA ON Construção e Transporte 45.33% 1.08 15.91% 22.60%
POMO4 MARCOPOLO PN Bens Industriais 45.47% 0.66 2.01% -14.27%
GGBR4 GERDAU PN Materiais Básicos 45.65% 0.91 24.40% -58.33%
JBSS3 JBS ON Consumo não Cíclico 45.79% 0.91 11.37% -0.01%
GGBR3 GERDAU ON Materiais Básicos 46.22% 0.87 24.21% -60.89%
LPSB3 LOPES BRASILON Construção e Transporte 46.48% 0.5 -6.44% -61.10%
TGMA3 TEGMA ON Construção e Transporte 46.76% 0.59 16.14% -75.18%
BRSR6 BANRISUL PNB Financeiro e Outros 47.41% 1.01 29.08% -50.12%
CMIG4 CEMIG PN Utilidade Pública 47.89% 1.05 39.15% -45.81%
KEPL3 KEPLER WEBERON Bens Industriais 48.00% 0.47 -1.21% -61.34%
BRAP4 BRADESPAR PN Financeiro e Outros 48.48% 1.21 45.54% -63.42%
CMIG3 CEMIG ON Utilidade Pública 48.65% 0.96 34.75% -44.93%
BBRK3 BR BROKERS ON Construção e Transporte 48.78% 0.58 10.27% -42.09%
MRFG3 MARFRIG ON Consumo não Cíclico 48.84% 1.02 10.77% 33.61%
BBAS3 BRASIL ON Financeiro e Outros 48.92% 1.56 4.69% -38.16%
ELPL4 ELETROPAULO PN Utilidade Pública 49.16% 0.94 21.35% -3.35%
ELET3 ELETROBRAS PNA Utilidade Pública 49.41% 1.24 21.73% 20.34%
ESTC3 ESTACIO PARTON Consumo Cíclico 49.49% 0.75 14.91% -32.99%
KROT3 KROTON ON Consumo Cíclico 49.57% 0.96 23.26% -16.46%
VALE3 VALE ON Materiais Básicos 50.29% 1.18 45.51% -38.78%
PFRM3 PROFARMA ON Consumo não Cíclico 50.55% 0.36 29.53% -9.38%
VAGR3 V-AGRO ON Consumo não Cíclico 50.96% 0.26 15.53% -76.25%
BTOW3 B2W VAREJO ON Consumo Cíclico 53.41% 0.4 -13.34% -44.66%
GOAU4 GERDAU MET PN Materiais Básicos 54.41% 1.04 43.43% -86.97%
CSMG3 COPASA ON INT Utilidade Pública 55.68% 0.57 28.52% -20.27%
IDNT3 IDEIASNET ON Tecnologia da Informação 55.73% 0.14 5.65% 7.45%
SLED4 SARAIVA LIVRPN Consumo Cíclico 56.07% 0.49 38.41% -6.54%
PMAM3 PARANAPANEMAON Materiais Básicos 56.29% 0.84 15.28% -29.06%
USIM5 USIMINAS PNA Materiais Básicos 59.56% 0.94 -9% -77.52%
MILS3 MILLS ON Construção e Transporte 59.81% 0.76 9.44% -59.46%
PETR4 PETROBRAS PN Petróleo 60.36% 1.97 14.29% -47.88%
PETR3 PETROBRAS ON Petróleo 61.62% 2.01 19.32% -22.33%
LLIS3 LE LIS BLANCON Consumo Cíclico 62.49% 0.44 261.11% 0.70%
CSNA3 SID NACIONALON Materiais Básicos 64.19% 1.33 48.41% 1.09%
MGLU3 MAGAZ LUIZA ON Consumo Cíclico 68.78% 0.82 43.22% -63.58%
GOLL4 GOL PN Construção e Transporte 71.53% 1.32 70.69% -81.83%
LOGN3 LOG-IN ON Construção e Transporte 73.27% 0.37 6.94% -77.68%
OIBR4 OI PN Telecomunicações 76.13% 0.92 22% -71.85%
OIBR3 OI ON Telecomunicações 76.27% 0.85 5.05% -66.57%
BPHA3 BR PHARMA ON Consumo não Cíclico 77.08% 0.34 16.54% -89.89%
USIM3 USIMINAS ON Materiais Básicos 80.80% 0.83 -7.42% -79.85%
BRIN3 BR INSURANCEON Financeiro e Outros 81.66% 0.21 9.57% -60.70%
PDGR3 PDG REALT ON Construção e Transporte 90.73% 1.31 222.70% -73.15%
RSID3 ROSSI RESID ON Construção e Transporte 100.36% 1.33 95.65% -71.58%
TERI3 TEREOS ON Consumo não Cíclico 136.28% 0.36 10.67% 5.66%
LUPA3 LUPATECH ON Bens Industriais 152.43% 0.65 -16.03% -96.33%