Long-Short através de Cointegração – Parte 4

Após uma longa pausa, aqui está o quarto e último post desta série sobre operações de long-short/pares utilizando cointegração.

Recapitulando: no primeiro post da série, introduzi intuitivamente o conceito de cointegração, que permite encontrar pares (ou outras combinações) de ativos que “andam juntos”. No segundo post, expliquei conceitualmente um teste simples de estacionariedade, conhecido como teste de Dickey-Fuller (DF), apresentei sua versão “aumentada”, e introduzi o Método de Engle-Granger, que permite testar se duas séries não-estacionárias são cointegradas. No terceiro post, mostrei um exemplo prático da aplicação deste teste utilizando o Excel e dei uma ideia de como seria uma possível estratégia de operação de pares usando cointegração.

O objetivo deste post é apresentar uma aplicação completa dos conceitos de cointegração para criar um modelo de operações com pares. Para isto, construirei um modelo de pares muito similar aos modelos utilizados na literatura (e na prática), e farei uma simulação (backtest) dos resultados do modelo. Uma ressalva importante é que este post não é exaustivo, no sentido de que muitas variações e refinamentos podem e devem ser feitos à uma estratégia destas antes da produção. O objetivo é simplesmente ilustrar os conceitos. O modelo apresentado aqui é bastante similar ao utilizado no artigo de Caldeira e Moura (2013). Recomendo fortemente ao leitor interessado em se aprofundar no assunto a leitura do artigo e das referências nele citadas.

Em um post anterior, apresentei o conceito de um modelo básico de pares de ações. Naquele post, utilizei o seguinte diagrama:

ModeloPairsTrading

Criação de uma estratégia de operação com pares

Este diagrama será interessante para explicar a estratégia de pares através de cointegração utilizada, pois ele utiliza-se de simulação para escolher os melhores pares dentro da janela de treinamento (período in-sample ou dentro da amostra) para posteriormente operar na janela de operação (fora da amostra), ou seja, existe uma interação entre o modelo de operação e o de seleção de pares, conforme mostrado do diagrama. Vamos à descrição do modelo:

Modelo de Pares via Cointegração

Partimos de um universo com N ativos observados ao longo de T períodos. Os parâmetros do modelo são os seguintes:
1. Janela de treinamento: período no qual serão determinados os pares cointegrados
2. Janela de operação: período no qual os pares são operados com sinais de entrada e saída
3. Número de pares: o modelo utiliza os n melhores pares de acordo com o índice de Sharpe dentro do período de treinamento.
4. Sinal de entrada: valor do z-spread para iniciar um trade, ou seja, o valor no qual assumimos que o spread do par divergiu do seu comportamento histórico.
5. Sinal de saída: valor do z-spread para encerrar um trade, ou seja, o valor no qual assumimos que o spread do par reverteu à sua média.
6. Duração máxima: maior período em que um trade pode ficar aberto.
7. Stop Loss: perda máxima que um trade pode ter. Se um trade apresentar uma perda maior do que o stop loss, ele é encerrado.

Os pares são selecionados na janela de treinamento através de dois critérios. Primeiramente são selecionados os pares que estão cointegrados através da aplicação da metodologia de Engle-Granger. Em seguida, os pares cointegrados são “operados” nesta janela (dentro da amostra) e os pares com melhor índice de Sharpe são selecionados para operação na janela de operação. Os parâmetros do spread (parâmetros da regressão e a média e desvio padrão do spread) na janela de treinamento (dentro da amostra) são utilizados para calcular os z-scores dos pares na janela de operação (fora da amostra). Este procedimento garante que na nossa simulação, estaremos utilizando apenas valores conhecidos em cada momento (ou seja, não estamos incorrendo no look-ahead bias).

Por exemplo, se a janela de treinamento é de 12 meses e de operação é de 1 mês, então os melhores pares nos primeiros 12 meses são operados no mês seguinte. As janelas são então roladas um mês para frente e o processo reinicia, até o final da amostra. A figura abaixo ilustra este procedimento de janelas móveis:

Esquema treinamento operacao.png

A dinâmica de operação é baseada no valor do z-score, que é o spread do par (resultado da cointegração) normalizado, isto é, subtraído da sua média e dividido pelo desvio padrão. Quando o z-score é muito alto e positivo, o par é vendido (abre-se simultaneamente uma posição vendida na primeira ação e comprada na segunda ação). Quando o z-score é muito negativo, a operação oposta é realizada, isto é, o par é comprado. Uma operação é encerrada se pelo menos uma das condições a seguir ocorre: (i) o z-score do par retorna ao patamar pré-definido; (ii) o P&L da operação cai abaixo do valor de stop-loss; (iii) a operação excede a duração máxima definida pelo modelo; (iv) a janela de operação é encerrada.

No final da simulação, temos o resultado simulado de todas operações realizadas, o que permite calcular estatísticas de rentabilidade e risco do modelo no período.

Detalhes da Simulação

Parâmetros do modelo – Os seguintes valores foram utilizados:

Janela de treinamento: 12 meses
Janela de operação: 1 mês
Número de pares: 20
Sinal de entrada: |z-spread| > 1.7
Sinal de saída: |z-spread| < 1.2
Duração máxima: 1 mês (20 dias)
Stop Loss: 7%

Custos operacionais – Foram considerados custos de bid-ask spread de 0.1% para cada operação, de 2% ao ano para o aluguel de ações, e de 0.05% de corretagem. Os trades foram abertos com o mesmo financeiro em cada ação, ou seja, o modelo é financeiro-neutro (a outra possibilidade é operar beta-neutro). Um comentário sobre os valores de entrada e saída do z-score: eu testei os valores considerados por Caldeira e Moura (2013) (abrir trade em 2 e fechar em 0.5/0.75), porém os resultados foram piores.

Universo de ativos – Para realizar a simulação, é preciso primeiramente definir um universo de ativos. Os trabalhos acadêmicos (como por exemplo o artigo mencionado acima) geralmente utilizam as ações que pertencem a um certo índice como o IBOVESPA no Brasil. Na prática, esta restrição não é necessária. Nesta simulação, eu utilizei os dados diários de preço de fechamento e volume de todas as ações, ETFs e FIIs disponíveis no mercado brasileiro de janeiro de 2001 até maio de 2016, incluindo ações que deixaram de existir, o que elimina o viés de sobrevivência. Para evitar ações ilíquidas, em cada janela de treinamento eu utilizei os 70 ativos com maior volume. Isto significa que o número total de ativos considerados será maior do que 70.

Teste de Cointegração – foi utilizada a metodologia de Engle-Granger com teste ADF, descrita nos posts anteriores.

Cálculo de Retornos – calcular o retorno de operações com pares não é algo trivial. Teoricamente, os retornos de operações long-short não são definidos, uma vez que o investimento inicial pode ser igual a zero. Há duas medidas diferentes de reportar o “retorno” de uma operação de pares. A primeira consiste  em adotar a convenção de que o retorno é dado pelo lucro ou prejuízo da operação (P&L) dividido pelo valor inicial investido em cada ponta. Chamaremos isto de retorno líquido. Se usarmos o valor de R$1, o próprio P&L tem a interpretação de retorno. A segunda consiste em considerar como denominador o capital alocado para manter a operação. Por exemplo, se uma operação consiste em comprar R$10,000 da ação A e vender R$10,000 da ação B, o valor necessário para montar esta operação é igual a R$0. Na prática, as corretoras requerem uma quantia em margem que limita a alavancagem. Esta quantia pode ser usada como denominador para definir um retorno sobre o capital. É importante ressaltar que este capital pode ficar investido em outros ativos que geram retornos (por exemplo, títulos do governo), o que tornará a estratégia mais rentável. Como o número máximo de pares em qualquer período de operação é de 20 pares, eu calculo e reporto os retornos considerando 1/20 do capital investido em cada par, ou seja, a alavancagem máxima da carteira é 1 (esta restrição não é necessária). Reportarei tanto os retornos líquidos (ou seja os retornos apenas das operações com pares) como os retornos sobre o capital, considerando que o capital excedente renderia 100% do CDI. Caldeira e Moura (2013) consideram um esquema “fully invested” no qual um certo capital é 100% investido nos pares que estão abertos, e a carteira é rebalanceada para manter 100% do capital investido.

Resultados da Simulação (01/2002 – 05/2016)

O modelo foi simulado de janeiro de 2001 até maio de 2016. Isto significa que o primeiro período de operação foi janeiro de 2002. A tabela abaixo resume os resultados considerando os retornos líquidos das operações. Observação: o P&L abaixo não está normalizado para a duração de cada operação.

Número de ações 162
Número de pares operados 1212
Número de operações 3817
P&L médio por operação (financeiro de R$1,00) 1.12%
Desvio padrão P&L 9.34%
Razão de informação 0.12
% operações ganhadoras 57.20%
% operações perdedoras 42.80%
Pior P&L -58.90%
Melhor P&L 84%
Mediana P&L 1.33%
Duração média (dias) 5.35
Duração mediana (dias) 4

Vemos que a estratégia parece capaz de gerar ganhos financeiros razoáveis, com uma convergência rápida da maioria das operações. O gráfico abaixo mostra o histograma da duração em dias das operações. Mais de 85% das operações encerra em menos de 10 dias. duracao

Resultados com Retornos Líquidos

Os resultados abaixo são baseados nos retornos líquidos da carteira que investe 1/20 do capital em cada par, sem considerar a remuneração do capital. Como mencionei antes, esta estratégia não ficará com 100% do capital alocado nos pares, a não ser que todos os 20 pares estejam abertos simultaneamente. Vemos que a estratégia apresentou um retorno médio de 11.4% com volatilidade de 11.21%, o que não é ruim considerando que a estratégia não toma risco direcional. O drawdown máximo foi de -14.5%. Vemos que, apesar de a estratégia ser financeiro-neutra, o que é confirmado pela exposição média da carteira de 0.35%, ela teve períodos em que chegou as estar quase 10% comprada e quase 16% vendida. O maior valor short foi de -68.66% e o maior long foi de 74.92%, confirmando que não tivemos nenhum período em que todos os 20 pares estavam abertos simultaneamente. Estes resultados são conservadores, pois assumem que o capital fica parado, ou seja, poderia estar sendo investido nos pares que estão abertos. Apesar de a estratégia diferir da de Caldeira e Moura (2013) em vários aspectos, os resultados para o período do artigo (2002 a 2006) são muito similares (não reportados).

Retorno médio 11.40%
Volatilidade 11.21%
Retorno total 327.89%
Índice de Sharpe 1.02
Drawdown máximo -14.50%
Pior mês -7.58%
Melhor mês 19.89%
% dias positivos 45.96%
% meses positivos 61.27%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.67%
Exposição mínima carteira -15.98%
Máximo short carteira -68.66%
Máximo long carteira 74.92%

A tabela abaixo mostra os retornos por ano. Notamos que a estratégia foi positiva em todos os anos, com retornos muito altos entre 2008 e 2010. Isto não é surpreendente, já que estratégias long-short tendem a ser muito boas em períodos de volatilidade alta.

Ano Retorno líquido (%)
2002 3.37
2003 6.96
2004 10.25
2005 8.68
2006 10.5
2007 9.22
2008 16.74
2009 37.85
2010 18.9
2011 8.49
2012 5.45
2013 0.43
2014 9.48
2015 4.38
2016 6.53

Finalmente, a figura abaixo mostra a evolução do P&L acumulado.

pnlacumulado.png

Resultados com Remuneração do Capital (2002-2016)

Na prática, uma estratégia de pares requer pouco capital, o que significa que quase 100% do capital poderia ficar investido em títulos (ou qualquer ativo que seja aceito como margem) a maior parte do tempo. Os fundos em geral definem um target  de alavancagem ou volatilidade para a estratégia. Os resultados abaixo consideram que o capital livre é remunerado a 100% do CDI. O investimento nos pares segue a mesma regra de 1/20 do capital, ou seja, a alavancagem nunca é superior a 1.

Os resultados abaixo mostram a grande contribuição de investir o capital livre. Vemos que o retorno médio, muito mais alto, é uma combinação do retorno da estratégia pura (mostrado anteriormente) com a rentabilidade do CDI. Obviamente, os resultados são bastante aumentados pelo alto valor do CDI, principalmente no início do período. Os resultados por ano (tabela seguinte) corroboram isto. O retorno total é muito alto devido à natureza dos juros compostos, uma vez que a estratégia reinveste os lucros a cada período.

Retorno médio 26.38%
Volatilidade 11.36%
Retorno total 2497.02%
Índice de Sharpe 2.32
Drawdown máximo -14.74%
Pior mês -6.66%
Melhor mês 20.97%
% dias positivos 59.89%
% meses positivos 85.55%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.71%
Exposição mínima carteira -16.46%
Máximo short carteira -70.54%
Máximo long carteira 75.21%
Ano Retorno líquido (%)
2002 22.64
2003 31.6
2004 27.88
2005 29.04
2006 27.46
2007 22.65
2008 31.59
2009 51.41
2010 30.62
2011 21.14
2012 14.31
2013 8.53
2014 21.34
2015 18.17
2016 11.21

O gráfico abaixo mostra o retorno acumulado da carteira e do CDI. pnlacumulado-com-capital

Resultados com Remuneração do Capital (2010-2016)

Os resultados acima mostram que a estratégia funciona em um período longo (15 anos), durante a qual houve períodos atípicos (juros muito altos, crise de 2007-2008 etc). Por este motivo, é interessante avaliar o resultado da estratégia em um período mais recente. Para isto rodamos a simulação de 2010 a 2016. Os resultados (tabela e gráfico abaixo) mostram um resultado muito consistente. Tanto a volatilidade como o retorno são mais baixos, reflexo da exclusão do período de alta volatilidade da crise de 2007-2008 e do período de CDI muito alto. O drawdown máximo é cerca de metade do observado no período anterior.

Retorno médio 20.07%
Volatilidade 9.44%
Retorno total 208.97%
Índice de Sharpe 2.13
Drawdown máximo -7.25%
Pior mês -4.10%
Melhor mês 7.79%
% dias positivos 59.13%
% meses positivos 85.71%
Exposição média carteira 0.35%
Exposição máxima carteira 9.06%
Exposição mínima carteira -5.68%
Máximo short carteira -67.73%
Máximo long carteira 74.48%

pnlacumulado-com-capital-2010-2016

Considerações Finais

Este post encerra a série de Long-Short através de cointegração e teve o objetivo de apresentar um exemplo de um modelo completo usando este conceito. O modelo apresentado teve desempenho muito forte ao longo de um período de 15 anos, com uma consistência impressionante. Alguns comentários são importantes:

  • Refinamentos – o modelo apresentado é bastante simplista. Uma implementação deste modelo na vida real requer um estudo mais aprofundado em termos dos parâmetros. Em especial, destacaria os seguintes pontos: a estabilidade da relação de cointegração e testes alternativos de cointegração (como o teste de Johansen); estudo das regras de abertura e fechamento das operações); modelagem do spread através de modelos de séries temporais (ver Tsay 2010) e estimação do z-score.
  • Caveats da simulação – a simulação usando os dados de fechamento é simplista demais. Mesmo que o horizonte do modelo seja dados diários, o ideal seria utilizar os preços da ações em um determinado horário do dia, e capturar o bid-ask observado das ações, que reflete melhor o custo de compra e venda dos ativos de maneira. Além disto, usando dados de alta frequência é possível simular se um par daria sinais de entrada ou saída durante o dia.
  • Operacionalização – fazer a simulação é o primeiro passo, mas implementar uma estratégia destas requer sofisticação no controle da carteira de pares e principalmente habilidade de executar ordens de maneira automática e rápida.
  • Controle de riscos – uma estratégia destas requer controles de riscos ativo, principalmente no que toca à concentração em ativos e setores.

Update – comparação β-neutro vs $-neutro

Os resultados mostrados acima foram obtidos com a abordagem $-neutra, ou seja, as operações são abertas com o mesmo valor financeiro comprado e vendido. Do ponto de vista teórico, existe um argumento a favor de utilizar a abordagem β-neutra, na qual opera-se uma quantidade β de um dos ativos para cada uma quantidade do outro (onde o β é obtido da regressão de cointegração), já que desta maneira, a posição operada (desde que o par seja cointegrado) é estacionária. Na abordagem β-neutra, a exposição líquida da carteira pode variar mais e a carteira pode ficar net comprada ou net vendida, pois o valor financeiro nas pontas não é necessariamente igual. Uma vantagem de manter a carteira $-neutra é que o valor líquido da carteira é mais previsível e não está sujeito ao erro de estimação do beta.

Para comparar as duas abordagens, rodei o modelo β-neutro e o modelo $-neutro para o período 2010-2016, ajustando as exposições dos dois modelos para obter a mesma volatilidade de 12% (um valor arbitrário, mas que garante comparabilidade e alavancagem relativamente baixa). Os resultados obtidos com o modelo β-neutro foram piores do que os do modelo $-neutro. O retorno médio do modelo β-neutro foi de 17.31%, enquanto o do modelo $-neutro foi de 23.70%. Os índices de Sharpe e Sortino também foram piores, apesar de o modelo $-neutro apresentar um drawdown máximo maior.

Outro ponto interessante é a exposição líquida da carteira. Conforme esperado, a carteira $-neutra, por construção, mantém uma alocação líquida próxima de zero, com uma exposição média de 0.46% do capital, máxima de 12.32% e mínima de -5.44%. Ela não fica completamente zerada devido às movimentações dos ativos nas operações abertas, já que uma vez que uma operação é aberta, ela não é rebalanceada. Já a carteira β-neutra fica net vendida 7% do capital, na média, com uma exposição net máxima de 0.62% e mínima net de -56.12%. Isto significa que o custo de aluguel desta operação é maior, pois é preciso carregar uma posição short maior do que a posição long.

β-neutro $-neutro
Retorno médio 17.31% 23.7%
Volatilidade 12% 12%
Retorno total 162.06% 266.58%
Índice de Sharpe 0.57% 1.1%
Drawdown máximo -8.38% -9.83%
Pior mês -5.18% -6.56%
Melhor mês 8.94% 12.88%
% dias positivos 56.94% 58.32%
% meses positivos 72.73% 77.92%
Exposição média carteira -7.00% 0.46%
Exposição máxima carteira 0.62% 12.32%
Exposição mínima carteira -56.12% -5.44%
Máximo short carteira -116.14% -89.01%
Máximo long carteira 79.21% 100.19%

O gráfico abaixo apresenta a comparação do P&L acumulado das duas versões. beta-neutro

Referências

Os artigos abaixo são úteis para aprofundar o estudo deste tipo de modelo. Este post possui links para o download destes artigos.

Caldeira, J. F. e Moura, G.V. (2013), Rev. Bras. Finanças, Vol. 11, No. 1, March 2013, pp. 49–80.

Gatev, E., Goetzmann, W. N., & Rouwenhorst, K. G. (2006). Pairs Trading: Performance of a Relative Value Arbitrage Rule. The Review of Financial Studies, 19, 797–827.

Avellaneda, M., & Lee, J. (2010). Statistical arbitrage in the US equities market. Quantitative Finance, 10, 1–22.

Tsay, R. (2010). Analysis of Financial Time Series. Wiley.

 

 

 

 

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Artigo sobre construção de carteiras

Cullen Roche, do Pragmatic Capitalism, tem um novo artigo sobre contrução de carteiras. O trabalho resume sucintamente a história da construção de carteiras e toca em várias pontos que tem sido discutidos recentemente em Finanças, com impactos importantes tanto do ponto de vista prático como acadêmico:

  • O único “almoço grátis” em alocação de ativos é a diversificação
  • O debate de investimento passivo (seguir índices) vs ativo (ganhar do mercado), bastante relacionado com o conceito de eficiência no mercado. O Roche defende a tese de que só existe uma carteira verdadeiramente passsiva, que é a carteira formada por todos os ativos financeiros disponíveis no mundo (ele chama esta carteira de Global Financial Asset Portfolio ou GFAP). Qualquer estratégia que divirja desta alocação é, por necessidade, uma estratégia ativa de investimento, pois envolve uma seleção de ativos por parte do investidor.
  • A busca ilusória pelo alfa (retorno superior ao do mercado) – no nível global, não existe alfa, só diferentes tipos de beta (exposição a fatores sistêmicos de risco). A busca pelo alfa gera altos custos e é, para a maioria dos investidores, desnecessária. É mais eficiente e melhor focar em reduzir custos e otimizar os impostos, pois estes são os fatores mais importantes sob os quais o investidor possui algum nível de controle. Eu adicionaria que o fator mais importante ainda é a taxa de poupança.
  • Diferenças entre a percepção de risco dos alocadores ou poupadores (perda financeira permanente ou perda do poder compra ) e dos gestores (divergência do benchmark) – isto é muito importante, pois os incentivos dos gestores não são, em gera, alinhados com o dos poupadores ou investidores.
  • Importância das taxas e impostos no cálculo de retornos reais (o que o Roche chama de real, real returns, i.e o retorno após todas as taxas e impostos, e descontado o efeito da inflação).

Eu havia comentado sobre muitos dos pontos deste artigo (que o Roche já havia feito em seu livro) no post Como Investir. Gosto muito deste tipo de abordagem, pois deixa clara a necessidade de definir metas de investimento e perfil de risco, e desenhar uma estratégia de investimento compatível com isto; implementar a estratégia através de ETFs ou fundos com baixas taxas de administração; e ter disciplina na hora de rebalancear e fazer aportes periódicos na carteira.

 

A arte de não prestar atenção no ruído

Compartilhando um post interessante no blog Motley Fool sobre a tendência dos investidores de focarem demais nos acontecimentos recentes. Este comportamento miópico está relacionado ao chamado “viés de recência“, o viés cognitivo que leva as pessoas a dar um peso demasiadamente grande para os acontecimentos recentes, em detrimento das tendências ou evidências de longo prazo*.

Obviamente estou falando de investidores cujo horizonte de investimento é relativamente longo. Para um day trader ou mesmo alguém que faz stock picking, faz todo o sentido focar no curto prazo. Já para um investidor passivo, que rebalanceia sua carteira com uma frequência baixa e cujo horizonte é de muitos anos ou décadas, que sentido faz checar o que acontece no mercado a cada minuto?  Este investidor está tentando se beneficiar de retornos que serão realizados ao longo de meses e anos. Se ele possui uma estratégia de investimento bem definida, basta segui-la. Isto não significa que não se deva prestar atenção ao que acontece no mercado. Mas se a carteira de investimento está alinhada com a estratégia e o perfil de risco do investidor, não é preciso saber o que acontece no mercado a cada minuto e o investidor deveria poder dormir tranquilamente, com a segurança de que sua carteira possui o nível de risco desejado.

Quando focamos muito nas notícias e movimentos recentes, surge uma tendência ou até uma tentação de mexer nos investimentos, já que há uma sensação de que precisamos reagir às notícias e eventos. Isto tende a ser ruim por vários motivos. Em primeiro lugar, quanto maior a movimentação nos investimentos, mais dinheiro perdemos com taxas e custos de operação. Em segundo lugar, já não é trivial definir uma estratégia de investimento e montar uma carteira para um horizonte longo. Quando tentamos “acertar” o que acontecerá baseado em pequenos sinais observados no mercado, a chance de acertar tende a zero em 99.99% dos casos. Finalmente, quando um investidor altera a composição de sua carteira baseado em acontecimentos muitas vezes irrelevantes, torna-se difícil avaliar a eficácia da estratégia, pois o resultado realizado não está alinhado com a estratégia.

A mídia financeira vende a ideia oposta: cada movimento do mercado deve ser analisado minuciosamente; as altas e baixas são explicadas por especialistas citando todos os fatores internos e externos que levaram aos resultados do dia. Há uma sensação de urgência, de que tudo o que está ocorrendo é importante, quando na verdade a maioria dos dias traz movimentos praticamente aleatórios. Hoje, por exemplo, o IBOVESPA fechou em baixa de 1,26%. O Valor nos explica que  “operadores relataram um movimento de realização de lucro liderado por investidores estrangeiros”. Todo dia haverá uma explicação nesta linha, com os principais “drivers” da movimentação diária. Estas explicações ex-post são, essencialmente, inúteis. O mercado de ações é, bem, um mercado. Para cada comprador, há um vendedor. Não houve “mais vendores ou bears” do que “compradores ou bulls” e a variação do dia é impossível de se prever com qualquer grau de precisão.

Resumindo, gostei do post do Motley e vai muito na linha do que acredito. Acho que nestes casos vale a máxima “menos é mais”: informação demais sobre o mercado pode não ser benéfica. Eu leio muito e acompanho o mercado financeiro diariamente, pois faz parte do meu trabalho. Porém, é importante desenvolver um “filtro” para separar o relevante do resto.

 

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*Quando há um desastre aéreo, por exemplo, muitas pessoas tornam-se receosas de viajar de avião, apesar de as estatísticas demonstrarem que este é um dos meios de transporte mais seguros.

Long-Short através de Cointegração – Parte 3

Este post é parte de uma série sobre como fazer operações de arbitragem estatística (long-short) através da técnica de cointegração. No primeiro post da série, introduzi intuitivamente o conceito de cointegração, que permite encontrar pares (ou outras combinações) de ativos que “andam juntos”. No segundo post, expliquei conceitualmente um teste simples de estacionariedade, conhecido como teste de Dickey-Fuller (DF), apresentei sua versão “aumentada”, e introduzi o Método de Engle-Granger, que permite testar se duas séries não-estacionárias são cointegradas.

Neste post, darei um exemplo prático da aplicação deste teste utilizando o Excel. É necessário ter o pacote de Análise de Dados instalado.

Relembrando, o processo para testar se duas séries são cointegradas consiste em primeiro testar se elas são não-estacionárias. Caso ambas sejam, é feita uma regressão entre as séries de preços, e utiliza-se o teste DF (ou o teste DF Aumentado) para testar a estacionariedade dos resíduos. Se os resíduos forem estacionários, a série é cointegrada.

Escolhi as ações QUAL3 (QualiCorp SA, uma empresa do ramo de seguro-saúde) e RENT3 (Localiza Rent a Car SA, uma locadora de automóveis) para o exercício. Os dados compreendem o período entre outubro de 2012 e outubro de 2014. Estas duas ações são cointegradas ao nível de 1% de significância neste período, o que é um tanto contra-intuitivo, considerando que são de setores totalmente diferentes. Todos os cálculos mencionados estão demonstrados e explicados na planilha que acompanha o post, disponível no link abaixo:

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Ressalto que esta escolha foi arbitrária e ilustrativa, e não quer dizer que seja possível operar este par de maneira lucrativa.

Comecemos por analisar as séries de preços das duas ações. Conforme podemos ver no gráfico abaixo, os preços das duas ações parecem se comportar, à primeira vista, de maneira similar:

Precos QUAL3 RENT3

 

Passo 1 – Testar se cada série é não-estacionária

Vamos começar. O primeiro passo é testar se cada uma das séries é não-estacionária, aplicando o teste DF em cada série de preços. A hipótese nula do teste DF é que a série é não-estacionária, portanto neste primeiro teste queremos que a hipótese nula não seja rejeitada.

Para aplicar o teste DF, precisamos primeiro calcular os valores defasados (lags) de cada série e o delta (diferença entre o preço do dia e o preço do dia anterior), e após isto fazer regressão do delta no lag. Por exemplo, para QUAL3 esta regressão seria:

\Delta P_t^{QUAL3}= a + b P_{t-1}^{QUAL3} + e_t^{QUAL3}

onde P_t^{QUAL3} representa o preço de QUAL3 no dia t e \Delta P_t^{QUAL3} = P_t^{QUAL3} - P_{t-1}^{QUAL3} é o delta do preço de QUAL3.

Ao estimar esta regressão (aba “Teste Estac. QUAL3”), obtemos a seguinte equação:

\Delta P_t^{QUAL3}= 21.37 -0.45 \times P_{t-1}^{QUAL3}

e o valor da estatística t para o coeficiente b é -1.29. O valor crítico do teste DF (ver tabela no segundo post da série) é de -2.87. Portanto concluímos com base no teste DF que a série é não-estacionária (não rejeitamos a hipótese nula pois a estatística do teste é menor do que o valor crítico).

O teste para RENT3 chega à mesma conclusão (ver aba “Teste Estac. RENT3”). Podemos então seguir para o próximo passo.

Passo 2 – Aplicar Metodologia de Engle-Granger

No segundo passo temos duas etapas: primeiro estimaremos uma regressão dos preços de QUAL3 em RENT3 e salvaremos os resíduos desta regressão. A seguir, aplicaremos o teste DF nestes resíduos. Neste teste queremos que a hipótese nula de não-estacionariedade seja rejeitada, o que implicará que uma combinação linear dos preços das ações é estacionária e portanto elas são cointegradas.

Estes passos estão detalhados na aba “Regressão Engle-Granger”. Primeiramente é feita a regressão dos preços de QUAL3 em RENT3:

P_t^{QUAL3}=\alpha P_t^{RENT3}+u_t

Os resíduos \hat{u}_t (também chamados de spread do par) são salvos para a segunda etapa, que consiste em estimar a regressão:

\Delta u_t=a +b u_{t-1}+v_t

A estimação desta segunda regressão resulta em uma estatística t de -4.60 para o coeficiente b. Como o valor crítico é -2.87 a 5% de significância, e -3.44 a 1% de significância, podemos rejeitar a hipótese nula de não-estacionariedade ao nível de 1% de significância, concluindo portanto que as duas séries são cointegradas.

O teste de cointegração em si está concluído, porém isto não implica que o par possa ser operado com sucesso. Para isto é necessário avaliar se o comportamento do spread é adequado e realizar algum tipo de simulação (backtest). Idealmente queremos que o spread apresente o seguinte comportamento:

  • Relação de cointegração estável ao longo do tempo
  • Reversão frequente do spread à média
  • Variabilidade razoavelmente grande nas divergências

Com relação ao primeiro ponto, podemos nos questionar se a relação de cointegração entre duas ações de setores tão diferentes será estável ao longo do tempo; pode ser que seja um resultado espúrio, afinal estamos falando de um teste estatístico que possui uma probabilidade de erro. É importante ressaltar que relações de cointegração podem “quebrar” a qualquer momento. Um resultado positivo em um teste de cointegração é um indício de que o par pode ser operável, mas não garante resultado futuro. É preciso reavaliar periodicamente a relação de cointegração para detectar possíveis mudanças no comportamento das séries.

O gráfico abaixo apresenta a evolução do spread ao longo do tempo, com duas bandas representando -2 e 2 vezes o desvio padrão dos resíduos. Vemos que, apesar de os resíduos apresentarem certa persistência, comportam-se de maneira aparentemente desejável: flutuam razoavelmente ao redor da média, visitando-a com certa frequência. Uma regra possível de operação consistiria em vender o par quando o resíduo estiver acima da banda, e comprar o par quando estiver abaixo da banda. O trade pode ser encerrado quando o par voltar a média ou a um percentual qualquer da média. A simulação do resultado deste tipo de estratégia pode ser feita de maneira muito similar à que introduzi neste post.

spread

 

Automatização

Conforme o leitor deve ter percebido, o processo de teste de cointegração de 1 par utilizando o Excel é complicado e possui vários passos. Na prática, um modelo para operar pares precisa avaliar milhares de combinações possíveis e torna-se inviável ou pouco prático fazer isto no Excel. O número de pares possíveis com N ações é N(N-1)/2, ou seja, com 100 ações (uma estimativa razoável do número de ações líquidas no mercado brasileiro) temos 4950 pares possíveis. Neste caso é recomendável utilizar alguma plataforma matemática como o R ou o Matlab. No R pode-se utilizar por exemplo o pacote tseries, que possui a função adf.test para fazer o teste DF. No Matlab há o toolbox de Econometria, que possui a função similar adftest.

No próximo post, falarei em linhas gerais sobre como montar um modelo geral para operar pares cointegrados, e potencialmente dar alguns exemplos em Matlab.

Long-Short através de Cointegração – Parte 1

Em alguns posts anteriores, falei em linhas gerais sobre arbitragem estatística (aqui e aqui) e descrevi um modelo genérico para operar pares de ações, com uma aplicação usando o modelo de bandas de Bollinger. Nesta sequência de posts, explicarei um modelo mais sofisticado de arbitragem estatística, através do conceito de cointegração.

Estratégias de arbitragem estatística são baseadas em encontrar uma série temporal que possua a característica de estacionariedade ou reversão à média. Isto significa que é possível identificar situações em que a série divergiu de seu comportamento histórico, e prever com alguma segurança que a série convergirá ou reverterá para um comportamento “médio”. O conceito de cointegração formaliza matematicamente este comportamento e permite a realização de testes estatísticos para detectar séries com este comportamento. No contexto de operações com pares de ativos (pairs trading), a existência de uma relação de cointegração entre as séries de preços de dois ativos significa que pode ser possível realizar operações lucrativas de arbitragem. Por outro lado, se o par não for cointegrado, será impossível encontrar uma relação consistente para operar o par.

A Metáfora do Bêbado e seu Cachorro

Antes de definirmos matematicamente a cointegração, convém explicarmos com uma metáfora. Imagine que um bêbado está passeando pelo parque, andando a esmo. Sua direção é imprevisível: às vezes ele vira para a direita, às vezes ele vira para a esquerda. A trajetória do bêbado é chamada, na Estatística, de passeio aleatório: é um processo imprevisível*. Supondo que o bêbado continuará andando indefinidamente, é impossível prever onde ele estará após um certo tempo, e a melhor previsão da sua posição é o último lugar em que ele foi visto.

Se representarmos graficamente a posição do bêbado ao longo do tempo (distância entre o bêbado e um ponto qualquer de referência), o resultado será algo parecido com isto:

Este gráfico mostra a posição de um bêbado andando aleatoriamente (passeio aleatório Gaussiano)

Este gráfico mostra a posição de um bêbado andando aleatoriamente (passeio aleatório Gaussiano)

Agora imaginemos que o bêbado possui um cachorro, que o acompanha onde quer que ele vá. O cachorro não possui coleira e tende a se afastar do dono, atraído pelos diferentes cheiros e estímulos que sente ao andar pelo parque. Porém o bêbado, sempre que percebe que o cachorro não está por perto, o chama, e o cachorro retorna. O gráfico com a posição do bêbado e do cachorro será algo assim:

Este gráfico mostra as posições de um bêbado e seu cachorro (passeio aleatório Gaussiano e processo cointegrado)

Este gráfico mostra as posições de um bêbado e seu cachorro (passeio aleatório Gaussiano e processo cointegrado)

Podemos ver que, apesar de a posição do bêbado no parque ser imprevisível, a posição do cachorro em relação ao bêbado é relativamente previsível: o cachorro nunca está muito longe do dono. Podemos ir um passo adiante e quantificar isto, medindo a distância entre os dois, ou seja, a diferença entre as duas séries temporais do gráfico acima. O gráfico abaixo apresenta esta diferença e duas “bandas”, que representam pontos extremos na distribuição desta distância.

Distância entre o bêbado e o cachorro e bandas de confiança

Distância entre o bêbado e o cachorro e bandas de confiança

Podemos ver que, na média, o cachorro está sempre próximo do bêbado. Além disto, quando a distância se aproxima de +1 ou -1, há uma probabilidade muito grande de que no próximo instante a distância reverterá para sua média próxima de zero. Isto sugere que é possível apostar, com alta chance de ganhar, que o cachorro estará junto ao dono logo após se distanciar acima das bandas  mostradas. As bandas podem ser estimadas, por exemplo, através de uma medida de dispersão como o desvio padrão. No gráfico acima, as bandas representam um intervalo de +2 ou -2 desvios-padrão da média da distância. Este conceito é o mesmo utilizado no modelo de bandas de Bollinger.

Voltando ao mundo financeiro…

Talvez você esteja se perguntando porque estou falando de bêbados e cachorros em um blog sobre mercado financeiro. Transferindo a analogia acima para o mercado de ações, suponha que seja possível encontrar um par de ações que possui um comportamento similar, ou seja, que “andam juntas”. Se as séries de preços das ações forem cointegradas, ou seja, se uma das empresas for o bêbado e a outra, o cachorro, então será possível quantificar quanto a distância entre os preços das ações, que chamamos de spread, varia ao longo do tempo, e explorar situações nas quais esta distância divergiu de seu comportamento histórico.

É importante lembrar que o número de pares possíveis de ações aumenta rapidamente com o tamanho do mercado. Por exemplo, com um universo de 50 ações, existem 1125 pares possíveis. Com 100 ações, o número de pares sobre para 4950. Podemos ver como simular estratégias de operação com todos os pares possíveis pode se tornar um processo oneroso ou mesmo inviável. Sabemos também que, se um par não for cointegrado, é inútil tentar encontrar uma estratégia de reversão a média. Portanto é necessário termos um teste para identificar quais pares de ações são cointegrados. Mesmo dentro do universos dos pares que são cointegrados, não há garantia de sucesso. É preciso que o par possua algumas características específicas para que uma estratégia de arbitragem seja consistentemente lucrativa:

  • Relação de cointegração estável ao longo do tempo
  • Reversão frequente do spread à média
  • Variabilidade razoavelmente grande nas divergências

Definindo Cointegração

Para definir cointegração, definiremos primeiro alguns conceitos básicos:

Série temporal: uma série temporal é uma coleção de valores ordenados no tempo. Por exemplo, os preços diários de uma ação constituem uma série temporal. Se denotarmos por P^A_{t} o preço da ação A no instante t, então a coleção de valores {P^A_{1}, P^A_{2}, P^A_{3},... } etc é uma série temporal.

Estacionariedade: uma série temporal é estacionária** se (i) a sua média é constante, (ii) a sua variância é constante e (iii) a covariância entre dois instantes da série temporal t e s depende apenas da diferença entre t e s.

Uma série estacionária é chamada em Estatística de I(0) ou “integrada de ordem zero”. Uma série não-estacionária, mas cuja primeira diferença é estacionária, é chamada de integrada de ordem 1, ou I(1).

Por exemplo, a série temporal da distância entre o bêbado e o cachorro, mostrada acima, é estacionária: sua média é constante (de fato é igual a zero), sua variância é constante, e é possível mostrar que a covariância entre dois pontos quaisquer da série depende apenas da distância entre estes pontos. Já a posição do bêbado ou do cachorro são exemplos de séries não estacionárias. Não existe uma posição média na qual espera-se encontrá-los.

Em geral, séries de preços de ativos são não-estacionárias, ou seja, não é possível, definir um preço médio em torno do qual uma ação oscila consistentemente. O preço da ação pode subir indefinidamente ou pode chegar a zero, caso a empresa vá à falência.

Podemos agora definir cointegração para o caso de duas séries temporais não-estacionárias X e Y.  Dizemos que X e Y são cointegradas se existe um número \alpha tal que a série Z=X-\alpha Y  é estacionária. Ou seja, dadas duas séries não-estacionárias, se uma combinação linear delas for estacionária, elas são cointegradas.

Cointegração vs Correlação

Muitas vezes o conceito de correlação é utilizado para construir estratégias com pares de ações. Isto não é indicado, pois o fato de duas séries terem alta correlação não garante que o seu spread seja estacionário. Cointegração e correlação são conceitos relacionados, porém diferentes. Em particular, alta correlação não implica em cointegração, nem tampouco um alto nível de cointegração implica em correlação alta. Por exemplo, o gráfico abaixo mostra duas séries temporais cointegradas, mas cuja correlação é apenas 0.30. As séries estarão, no longo prazo, andando juntas, porém, no curto prazo, seus movimentos tem pouca relação entre si. Note que a diferença entre as duas séries é estacionária.

Séries cointegradas mas com baixa correlação

Séries cointegradas mas com baixa correlação

O oposto também é possível. O gráfico abaixo mostra duas séries altamente correlacionadas (correlação = 0.78) mas que não são cointegradas. Note que as séries estão se distanciando uma da outra e a sua diferença não é estacionária.

Séries altamente correlacionadas, mas não cointegradas.

Séries altamente correlacionadas, mas não cointegradas.

No próximo post, explicarei como fazer um teste de cointegração.

Uma boa referência para estes conceitos é o segundo volume da série Market Risk Analysis daCarol Alexander.

 

* Porém é possível demonstrar matematicamente que o bêbado sempre encontra o caminho para casa!

** Esta é a definição de estacionariedade fraca. Ver as referências para maior formalismo.

 

Como investir

Apesar de hoje existirem diversos blogs e sites brasileiros dedicados a investimentos e ao mercado de ações, na minha opinião é difícil encontrar um material simples, gratuito e claro sobre como investir e alcançar os seus objetivos financeiros (com a ressalva de que “investir” não é a mesma coisa que “operar”) . Alguns dos sites sobre investimento que vejo no Brasil, mesmo alguns que possuem materiais gratuitos muito bons, muitas vezes vem acompanhados de tentativas de monetizar conceitos simples através de estratégias de marketing massificado para vender um ebook, curso ou webinar “que vai mudar sua vida”*.

Portanto decidi escrever um post simples – e, espero, claro – sobre como investir. Para começar, precisamos entender o que “investimento” significa. É importante notar que a maioria das pessoas não são investidoras, no sentido econômico da palavra. Investimento é a utilização de recursos, no momento atual, com o intuito de produzir algo no futuro. Por exemplo, começar um negócio próprio é uma forma de investimento – você está investindo capital hoje com a esperança de produzir algo mais valioso no futuro. Um outro exemplo é a compra inicial de ações de uma empresa (ou seja, no mercado primário, quando a empresa faz a oferta pública inicial, ou IPO), que também é uma forma de investimento e na qual o investidor financia a operação de uma empresa em troca de uma participação acionária. A compra ou venda de ações no mercado secundário (ou seja, na bolsa) é diferente e não constitui investimento no sentido econômico, pois é apenas a troca, entre dois participantes privados do mercado, da participação acionária em uma empresa que já existe. Ou seja, o dinheiro pago por uma ação no mercado secundário não tem relação nenhuma com o funcionamento da empresa.

Podemos ver então que o que comumente chamamos de “investimento” no contexto de uma pessoa física, é simplesmente a aplicação da renda não utilizada (ou seja, a renda que é poupada) em diferentes instrumentos financeiros como fundos de investimento, ações, imóveis, títulos de renda fixa etc. O fato de chamarmos o conjunto destas aplicações de “carteira de investimentos”, em vez de “carteira de poupança”, tem mais a ver com o fato de que “investimento” é um termo que soa mais sexy e sofisticado do que “poupança”. Para manter as coisas simples, vamos usar neste post o termo “investimento” no sentido comumente utilizado.

Investimento vs Especulação

É importante diferenciar entre investimento e especulação. Um especulador busca lucros através de operações de curto prazo, com o objetivo de explorar flutuações nos preços dos ativos. Em geral, o especulador não está preocupado com os fundamentos de um ativo. O investidor, por outro lado, tem um horizonte de médio ou longo prazo e aloca seus recursos em ativos com um perfil de risco e retorno consistente com os seus objetivos.

Não há nada de errado com ser um especulador ou um investidor, mas é importante que isto esteja bem definido. Em linhas gerais, uma pessoa que compra ações, por exemplo, sem uma estratégia bem definida, sem saber por quanto tempo manterá as posições, e vende as posições de maneira oportunista quando o papel sobe, é um especulador.

É possível que a mesma pessoa seja tanto um investidor como um especulador. Por exemplo, é possível ter uma carteira de investimento, seguindo uma estratégia bem definida, e paralelamente ter uma carteira na qual mantém posições especulativas (por exemplo, operações de arbitragem com pares de ações, ou com opções). Porém é importante manter uma estrutura organizada e disciplinada para registrar e separar estas duas atividades.

A seguir, podemos nos perguntar quais são os objetivos da carteira de investimento de uma pessoa física. Eu diria que são os seguintes:

Objetivos de uma carteira de investimentos

  1. Preservar o capital, ou seja, evitar perdas permanentes;
  2. Conservar o poder de compra , que deteriora ao longo do tempo por causa da inflação;
  3. Remunerar o dinheiro poupado pelo investidor, de acordo com seu perfil de investimento.

Note que o objetivo da carteira de investimentos não é “ficar rico” ou “duplicar seu dinheiro todo ano”. Um dos grandes mitos do mercado financeiro é que você ficará rico rapidamente ou será o próximo Warren Buffet. Com certeza existiram e continuarão existindo períodos de crescimento excepcionais e investidores profissionais excepcionalmente talentosos. Porém, também abundam exemplos de crises e crashes no mercado que fizeram evaporar grandes fortunas, e investidores sofisticados que quebraram.

Na minha opinião, para o investidor pessoa física, o caminho para o enriquecimento depende mais de fatores como o percentual da renda que é poupado e a disciplina em seguir uma estratégia de investimento bem definida, do que em acertar quais ativos que terão os retornos mais altos no futuro. O motivo é simples: os dois primeiros fatores estão sob o controle do investidor, enquanto os retornos futuros de ativos de risco são quantidades estocásticas e difíceis de prever. Para alcançar retornos mais altos, é mais vantajoso focar no investimento (no sentido econômico), seja ele na carreira ou educação (que aumentam o seu salário), ou em um negócio que permita deixar de ser assalariado.

Dados os objetivos da carteira, quais são as etapas do processo de investimento?

Etapas do processo de investimento

Em linhas gerais, podemos dividir o processo de investimento nas seguintes etapas:

1.       Defina sua meta de investimento

2.       Entenda o seu perfil de investimento e tolerância ao risco

3.       Crie uma estratégia de investimento

4.       Implemente a sua estratégia

5.       Monitore/Rebalanceie a carteira

Tenho focado bastante aqui no blog em estratégias para montar carteiras de ações, utilizando conceitos como escolher ações de baixa volatilidade, que demonstradamente superam o mercado. Montar – e manter – uma carteira de ações é sem dúvida um componente importante no processo de investimento, porém existem outros aspectos neste processo que são tão ou mais importantes. Conforme podemos ver, a escolha de uma carteira específica de ações pode ser vista como uma das etapas do passo 3, o qual inclui a alocação de ativos. A alocação de ativos começa com a definição de que tipos ou classes de ativos (ações, títulos, imóveis, câmbio, commodities etc) o investidor deseja ter. Após isto, é necessário escolher quais ativos comprar dentro de cada classe. As carteiras de ações que discutimos aqui no blog, por exemplo, podem servir para definir quais ações comprar.

Cada um dos tópicos acima merece um post próprio; aqui vou delinear os principais aspectos de cada um.

1.       Meta de investimento

Por que estamos investindo? Que objetivo queremos alcançar e em quanto tempo?

Saber o objetivo que temos ao investir é, de longe, o fator mais importante no processo de investimento. Qualquer um concorda que ter mais dinheiro é preferível a ter menos dinheiro, porém sem ter um objetivo claramente definido, fica muito difícil fazer as escolhas certas. Que ativos comprar? Que nível de risco é esperado/apropriado para alcançar o objetivo?  Também é muito importante definir o horizonte de investimento, pois ele influencia diversas escolhas, especialmente a alocação de ativos. Para horizontes curtos, precisamos tomar cuidado com ativos de maior risco ou de baixa liquidez, pois aumenta a chance de termos uma perda permanente, ou seja, ter de liquidar um investimento abaixo do valor pago originalmente.

O objetivo ou meta pode ser desde algo simples e relativamente fácil de alcançar, como por exemplo, “trocar de carro” ou “viajar para a Europa com a família”, como algo mais audacioso e desafiador, como “alcançar a independência financeira em 10 anos”. É tudo uma questão de elaboração; o processo acima serve para planejar desde o plano mais simples até o mais complexo. Algumas pessoas preferem manter uma única carteira de investimento para alcançar diversas metas diferentes; outras preferem ter carteiras diferentes, segregadas, para uma de suas metas.

Ao definir uma meta de investimento, é importante quantificar, da maneira mais precisa possível, o que se espera alcançar. Por exemplo, suponha que a meta seja tornar-se financeiramente independente, ou seja, possuir uma carteira que gere rendimentos periódicos suficientes para cobrir, com segurança, todos os custos de vida, indefinidamente. Neste caso, o investidor deve se perguntar:

  • Qual é o meu custo de vida atual? Como ele mudaria caso eu não tivesse mais que trabalhar? (Eu moraria no mesmo lugar, ou mudaria para um lugar mais barato? Possuo imóveis que poderia alugar ou vender para financiar o custo de vida futuro? Como aumentarão os gastos com saúde no futuro?)
  • Quanto preciso acumular para alcançar este objetivo? É preciso levar em conta a Matemática da Independência Financeira, o efeito dos juros, dos impostos, da inflação etc.
  • Em quanto tempo pretendo deixar de trabalhar? Este será o fator mais importante para determinar quanto será preciso economizar a cada mês.

Após definir a meta financeira, é hora de entender o seu perfil de investidor.

2. Perfil de Investimento e Tolerância ao Risco

O perfil de investimento é algo estritamente pessoal e  que depende de diversos fatores, como:

  • Idade e momento de carreira
  • Valor disponível para investir
  • Frequência e tamanho de aportes adicionais na carteira
  • Necessidade de liquidez e horizonte de investimento
  • Necessidade de fluxo de caixa
  • Tolerância ao risco
  • Taxa de retorno esperada

Para termos uma ideia de como estes fatores se relacionam, vamos comparar duas pessoas: uma jovem, em início de carreira, com um patrimônio baixo; e outra mais velha, próxima de se aposentar e com um patrimônio relativamente alto.

A primeira pessoa tem necessidade de liquidez em um horizonte de 5 a 10 anos, pois pretende comprar um imóvel e pagar despesas com os filhos que virão. O valor que possui para investir é baixo, porém ela poupa uma parcela razoável do seu salário todo mês, a qual vai direto para sua carteira de investimento. O objetivo principal da sua carteira é proteger o seu patrimônio e ajudá-lo a crescer. Seus investimentos não precisam gerar fluxo de caixa no futuro próximo, pois seu salário é suficiente para financiar seu estilo de vida. Em termos de tolerância ao risco, ela está confortável em assumir um risco maior, pois (i) possui mais tempo para recuperar eventuais perdas temporárias e (ii)  seu salário é a fonte primária de renda para arcar com o custo de vida.

A segunda pessoa, que está próxima de se aposentar, pretende usar a carteira para financiar sua aposentadoria. Ela não tem necessidade de liquidez relevante; o objetivo da sua carteira é gerar rendimentos para cobrir as despesas mensais na aposentadoria, ou seja, ela tem necessidade de investimentos capazes de gerar fluxos de caixa previsíveis. Sua tolerância ao risco é menor do que a da primeira pessoa; a função da sua carteira não é aumentar agressivamente, mas sim proteger o patrimônio para que ele continue gerando rendimentos previsíveis capazes de cobrir o custo de vida.

Esta análise, apesar de bastante estilizada, ajuda a entender como a situação pessoal de cada um influi no perfil de investimento. Em particular, a tolerância ao risco é um fator extremamente importante. Existem diversas maneiras de mensurar isto. Como uma regra simples, vale a pena imaginar o que aconteceria com a sua carteira de investimento em uma crise como a de 2008. Uma carteira 100% alocada em ações teria sofrido uma perda de aproximadamente 50% neste período. Como você reagiu (ou reagiria) a uma desvalorização desta magnitude? Se você passou (ou passaria) noites em branco, preocupado com as perdas, significa que sua alocação em ações deve ser bem menor do que 100%.

3. Estratégia de Investimento

Para criar uma estratégia de investimento, é preciso considerar vários fatores:

  • Meta de investimento (passo 1)
  • Que tipos ou classes de ativos irão compor a carteira?
  • Que tipo de alocação utilizar (passiva vs ativa)?
  • Que proporção da carteira alocar para cada classe de ativo?
  • Que instrumentos ou produtos utilizar e quais os custos envolvidos?

A meta de investimento é o primeiro passo, pois ela determina que tipos de ativos são adequados. Por exemplo, uma carteira com objetivo de apreciação agressivo precisa conter ativos capazes de gerar retornos altos, como por exemplo ações agressivas. Já uma carteira cujo objetivo é gerar rendimentos previsíveis pode conter uma proporção maior de títulos do governo ou de empresas, que pagam cupons pré-definidos e frequentes.

A definição das classes de ativos que irão compor a carteira é outro passo importante. A introdução de diversas classes de ativos é desejável pois aumenta a diversificação da carteira. Mas é preciso entender as características e os riscos de cada produto para evitar surpresas, especialmente caso seja necessário liquidar o investimento. Em linhas gerais, as classes de ativos financeiros que estão comumente disponíveis para investidores individuais no Brasil são as seguintes** (dos menos arriscados para os mais arriscados):

Dentro de cada classe de ativos, existem diferentes tipos ou categorias de ativos. Por exemplo, há ações mais defensivas e mais agressivas, ações que tendem a pagar mais ou menos dividendos etc. Títulos podem ser emitidos pelo governo ou por empresas, podem ser pré ou pós fixados, de curto ou longo prazo, pagar ou não cupons periódicos e assim por diante.

Definidas as classes de ativos, é preciso tomar decisões quanto à alocação de ativos. Em primeiro lugar, o investidor precisa determinar se seguirá um modelo de alocação passiva, no qual as proporções de cada classe de ativo são pré-definidas e mantidas fixas ao longo do tempo, ou um modelo de alocação ativa, no qual as proporções são alteradas com o intuito de capturar retornos maiores de acordo com algum tipo de previsão sobre o desempenho futuro das classes de ativos. Existe uma longa discussão sobre este assunto, ligada ao conceito acadêmico do mercado eficiente. Em um mercado eficiente, não é possível em geral superar consistentemente o desempenho agregado do mercado. Neste caso, a decisão mais racional é a de seguir uma carteira que represente da melhor maneira possível o mercado. A evidência acadêmica aponta que os gestores ativos, em geral, performam abaixo de gestores passivos que apenas seguem alocações fixas. Em geral, o investimento ativo está associado a taxas e custos mais altos, o que também contribui para deteriorar os resultados. Isto não significa que não existam gestores ativos capazes de obter retornos consistentes.

O próximo passo é definir a alocação de ativos da carteira. Isto significa definir a proporção (%) de cada classe de ativo na carteira. Existem diversas maneiras de fazer isto, desde escolhas subjetivas baseadas no perfil de investimento, até sofisticados cálculos para encontrar uma carteira otimizada, como por exemplo o que descrevo neste post sobre otimização de uma carteira de ações.

Um outro ponto a considerar é que tipo de produtos utilizar para obter exposição a cada classe de ativo, e quais os custos envolvidos. Por exemplo, é possível ter exposição a ações através de pelo menos 3 métodos: 1. comprando ações de empresas individuais através de uma corretora; 2. comprando ETFs através de uma corretora; e 3. comprando cotas de fundos de ações através de uma corretora, banco ou gestor de recursos. No primeiro caso, alguns dos custos envolvidos são: taxa de corretagem, emolumentos, spread de compra/venda (ver também este post). No segundo caso, além destes custos há também a taxa de administração do ETF. No terceiro caso, é necessário pagar a taxa de administração e em alguns casos, de performance do fundo. Além disso, os impostos cobrados em cima de tipos de produtos pode ser diferente. Por exemplo, LCIs e LCAs são isentos de impostos, enquanto CDBs não são.

4. Implementação da Estratégia de Investimento

Definida a estratégia de investimento, é hora de implementá-la. Isto envolve executar a compra dos produtos escolhidos para alcançar a alocação desejada. Conforme vimos acima, isto pode envolver uma combinação de produtos que estão disponíveis através de diferentes instituições como bancos, corretoras, gestores de recurso etc. O número de opções, mesmo no Brasil, é muito alto. Por exemplo, existiam no final de 2013 mais de 14 mil fundos de investimento. Esta grande oferta de produtos também vem acompanhada de grande variabilidade nos custos. Por exemplo, um fundo de ações comum pode ter taxas de administração variando de algo próximo de 0% até 4%. O mesmo pode ser dito sobre o custo de comprar e vender ações individuais através de uma corretora. Portanto é importante avaliar com cuidado todos os custos envolvidos.

5. Manutenção/Rebalanceamento da Carteira

Uma vez escolhidos os produtos e instituições financeiras para implementar a carteira, é necessário monitorá-la frequentemente para que ela não desvie muito da alocação desejada. Isto pode ser feito de diversas maneiras, de acordo com a sofisticação do investidor, a dinâmica de aportes e o critério de rebalanceamento. Este processo é vital para alcançar bons resultados e manter a carteira alinhada com o perfil esperado. Em particular, o processo de rebalanceamento ajuda a alcançar retornos melhores, pois força a venda de ativos que tiveram ganhos e a compra de ativos que tiveram perdas, ou seja, ajuda a automatizar o conceito de comprar na baixa e vender na alta. É importante manter em mente, no entanto, que quanto mais frequente o rebalanceamento, maior serão os custos operacionais.

Algumas das possibilidades para rebalancear a carteira são:

  • Rebalanceamento periódico – consiste em rebalancear a carteira em uma frequência pré-determinada (por exemplo, mensalmente ou a cada três meses).
  • Rebalanceamento ao divergir da alocação desejada – pode-se definir uma meta de rebalanceamento em relação a alocacão desejada, por exemplo, rebalancear a carteira sempre que ela desviar x% da alocação desejada.
  • Rebalanceamento através de aportes – se o investidor faz aportes frequentes, ele pode dimensionar as contribuições dos aportes em cada classe de maneira a manter a alocação mais próxima possível da alocação desejada.

Conclusão

Ter um processo bem definido de investimento é um passo fundamental para ter sucesso. O tempo investido no planejamento, execução e manutenção da sua carteira, e a disciplina de seguir este processo ao longo do tempo, podem fazer a diferença entre conquistar ou não os seus sonhos. Bons investimentos!

 

* Geralmente é fácil reconhecer este tipo de site, pois eles usam estratégias que geram tensão e ansiedade para fecharem a venda, como por exemplo alertas de que “hoje é o último dia para comprar/se inscrever pelo preço promocional”.

** Investidores com patrimônio mais alto ou mais sofisticados podem ter acesso a outras classes de ativos internacionais através de um gestor de recursos.

Otimimização de uma carteira de ações – exemplo em Excel

Alguns leitores me pediram um exemplo de como fazer otimização de carteiras utilizando o Excel. Atendendo a estes pedidos, preparei um exemplo que permite otimizar uma carteira com até 50 ações do mercado brasileiro. Informações úteis para entender as contas feitas na planilha podem ser encontradas aqui, aqui e aqui.

Faça o download da planilha:

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Vamos aos detalhes.

Dados

Os dados na planilha dizem respeito às 50 ações com maior volume no período de agosto 2012 a agosto de 2013. Esta escolha é arbitrária e o leitor pode modificar a planilha à vontade para refletir melhor o universo de ações que lhe for mais conveniente. 

Estimação dos parâmetros de mercado

Para realizar a otimização de carteiras dentro do paradigma de Markowitz, é necessário estimar as seguintes quantidades para o horizonte de investimento do investidor:

  • Retornos esperados de todos os ativos
  • Matriz de covariância dos ativos

Os retornos esperados, como o próprio nome diz, são a expectativa que o investidor tem sobre o retorno total de cada ativo. A matriz de covariância possui informações sobre a variabilidade de cada ativo e também sobre como os preços dos ativos se movimentam de maneira conjunta. Esta informação permite que se explore um benefício de diversificação.

Existem diversas maneiras de estimar estes valores. Para este exemplo, optei por utilizar dados históricos em frequência diárias. Um ponto crucial em um problema de alocação de ativos é o horizonte de investimento do investidor. Para que o problema de otimização esteja bem definido, é necessário que as quantidades acima sejam projetadas para este horizonte. Por exemplo, se o horizonte do investidor é mensal, mas os dados utilizados na estimação são diários, é necessário de alguma maneira transformar as estimativas diárias para quantidades mensais.

Aqui surge uma complicação relacionada ao tipo de retorno que utilizamos. O paradigma média-variância de Markowitz é definido em termos de retornos lineares. O retorno linear de um ativo entre os tempos t-1 e t pode ser definido por

R_t = \frac{P_{t}}{P_{t-1}}-1,

onde P_t é o preço do ativo no instante t . Os retornos lineares possuem a característica importante de que eles podem ser agregados ou somados entre ativos diferentes. Ou seja, dada uma carteira de N ativos representada por um vetor de pesos \boldsymbol w = \left(w_1, \cdots, w_N \right) , onde w_i corresponde à proporção do valor da carteira investida no ativo i, o retorno da carteira pode ser calculado como uma combinação linear dos retornos dos ativos:

R_t^{Carteira} = \boldsymbol w ' \mathbf{R}_t=\sum_{i=1}^{N}{w_i R_{i,t}}

Por outro lado, para agregar retornos ao longo do tempo, a relação é multiplicativa. Por exemplo, o retorno total entre t-2 e t pode ser calculado como

R_{t-2,t} = (1+R_{t-2,t})(1+R_{t-1,t})-1.

A relação acima não é particularmente conveniente, especialmente para transformar retornos entre horizontes diferentes. Um alternativa é trabalhar com retornos compostos, também conhecido como log-retornos. O log-retorno entre os tempos t-1 e t pode ser definido por

r_t = \log{\left(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\right)}.

Os log-retornos tem a característica conveniente de poderem ser agregados ao longo do tempo. O log-retorno entre os tempos t-2 e t pode ser calculado como

r_{t-2,t} = r_{t-2,t}+r_{t-1,t}.

Para valores pequenos, por exemplo em horizontes diários, o log-retorno é uma aproximação boa do retorno. Porém, quanto maior o retorno, pior é esta aproximação.

Ao escolher trabalhar com log-retornos diários, torna-se trivial projetar as estimativas para qualquer horizonte de investimento desejado. Por exemplo, se o horizonte desejado é mensal, então a projeção dos retornos esperados e da matriz de covariância são obtidos através da multiplicação das estimativas diárias por 21 (número de dias úteis em um mês). Caso o horizonte seja anual, multiplicamos por 252, e assim por diante.

Há um segundo motivo para trabalhar com log-retornos. Do ponto de vista de modelagem, a escolha de modelar os log-retornos como variáveis com distribuição normal implica em uma distribuição log-normal para os preços dos ativos. Isto é mais intuitivo e realista do que modelar os retornos como variáveis normais, o que implicaria que os preços teriam distribuições normais e permitiria, por exemplo, a possibilidade de preços negativos.

Apesar destas vantagens, os log-retornos não são agregáveis entre ativos diferentes, ou seja, o log-retorno de uma carteira de ativos não é uma combinação linear dos retornos dos ativos. Logo, para obter estimativas de retorno esperado e matriz de covariância dos retornos lineares, uma transformação é necessária. Esta transformação é realizada de maneira interna pela planilha. Os detalhes podem ser obtidos neste artigo.

Otimização

A otimização realizada pela planilha é a descrita aqui. Há três opções principais:

  • Calcular Fronteira Eficiente – esta opção realiza o cálculo de 20 portfolios na fronteira eficiente. Os portfolios são definidos a partir de retornos esperados mínimos igualmente espaçados entre o retorno esperado da carteira de variância mínima e o maior retorno esperado dentre todos os ativos.
  • Otimizar Carteira – esta opção realiza a otimização da carteira com os parâmetros que estiverem selecionados.
  • Carteira de Variância Mínima – esta opção calcula a carteira de variância mínima global.

Finalmente, é necessário fazer alguns comentários e observações sobre as escolhas feitas na construção  da planilha:

  • As ações foram selecionadas entre as de maior volume. O número de ações (50) também representa uma escolha arbitrária. O leitor pode modificar a planilha para utilizar um número maior ou menor de ações.
  • A janela e frequência dos dados utilizados na estimação também representam uma escolha arbitrária. Outras escolhas são possíveis e podem levar a resultados diferentes.
  • Um grande número das ações escolhidas apresenta retorno negativo no período utilizada na planilha. Isto implica que algumas carteiras “otimizadas” podem apresentar retorno esperado negativo.
  • O otimizador do Excel (Solver) não é a melhor escolha para se realizar otimizações com um grande número de variáveis. Apesar de teoricamente ser possível expandir a planilha para um número arbitrário de ações, é improvável que os resultados obtidos com o Solver sejam confiáveis. Ao leitor interessado em realizar otimizações de maior escala, sugiro a utilização de um software como R (gratuito) ou Matlab.
  • Apesar de o exemplo utilizar apenas ações, a estrutura pode ser usada para otimizar carteiras com outras classes de ativos, desde que possa-se modelar os ativos através dos (log)retornos. Isto seria viável por exemplo com ETFs e moedas, por exemplo, mas não com títulos do governo.
  • A fronteira eficiente calculada é a fronteira no contexto de Markowitz. Caso o leitor queira introduzir um ativo livre de risco (que no caso brasileiro pode ser proxied pelo CDI, por exemplo), é possível construir uma nova fronteira eficiente, definida pela Reta de Alocação de Capital.
  • A estimativa da matriz de covariância utilizada na planilha é a covariância amostral. Em alguns casos, esta matriz pode não ser bem comportada. Neste caso outras alternativas (shrinkage, modelo de fatores) precisam ser utilizadas.
  • A planilha é oferecida gratuitamente aos leitores “no estado” e sem garantias de qualquer tipo. O uso desta planilha é de responsabilidade do leitor e, como sempre, vale o velho e bom disclaimer.

A planilha pode ser baixada na seção de Downloads ou diretamente neste link.
PlanilhaOtimizacao

A matemática da independência financeira

Tenho lido bastante sobre independência financeira e decidi escrever um pouco para organizar melhor as idéias. Há um livro chamado Early Retirement Extreme, que como o nome diz, é sobre estratégias radicais para se aposentar mais cedo. O autor do livro, Jacob Fisker, propõe mudanças extremas no padrão de consumo e no estilo de vida, que possibilitem economizar algo da ordem de 70% da renda. Isto permitiria alcançar a independência financeira em menos de 10 anos de trabalho. Um outro proponente de um estilo de vida mais frugal, porém não tão radical, é o Mr. Money Mustache, cujo blog mencionei recentemente e que possui um post, baseado nos cálculos apresentados no livro de Fisker.

Os cálculos de independência financeira desenvolvidos por Fisker são relativamente simples e baseiam-se em conceitos corriqueiros de matemática financeira, como juros compostos. O que estes cálculos demonstram é algo bastante intuitivo: dentre os fatores que influenciam no tempo necessário para se tornar financeiramente independente, o mais importante é a taxa de poupança, ou seja, a proporção dos rendimentos líquidos que não são gastos.

Há diversos outros fatores que precisam ser levados em consideração em qualquer cálculo deste gênero, como por exemplo a taxa de retorno sobre os recursos investidos, a inflação e o nível de consumo que se pretende ter no futuro, ou seja, as retiradas no período de consumo dos recursos poupados. No entanto, a taxa de poupança é o mais importante principalmente por dois motivos:

  • Está diretamente sob nosso controle, ao contrário de outros fatores como o retorno sobre os investimentos (sobre o qual temos controle parcial) e a inflação (sobre o qual não temos controle);
  • Quanto maior a taxa de poupança, mais dramático é o efeito dos retornos sobre os investimentos, ou seja, menor o tempo necessário para acumular os recursos necessários para se tornar financeiramente independente.

Apresento a seguir alguns dos cálculos básicos de independência financeira. Apesar de as fórmulas estarem reproduzidas abaixo, elas não são essenciais para entender os conceitos, os quais são demonstrados com exemplos e gráficos. Para o leitor mais interessado, escrevi um pequeno artigo com mais detalhes e exemplos, incluindo a derivação das fórmulas (para quem quiser se relembrar de fórmulas de PA e PG :-P).

Custo real de uma despesa recorrente

Vamos então a alguns resultados interessantes. O primeiro é o cálculo do custo real de uma despesa recorrente. Suponha que você possui uma despesa recorrente de R$100 por mês. Caso você deixasse de ter esta despesa e investisse o valor todo mês, o dinheiro renderia juros e portanto, o custo real da despesa reflete este custo de oportunidade. Se a taxa de retorno sobre o investimento for, por exemplo, de 10% ao ano, após um período de 10 anos o valor acumulado seria superior a R$20.0000. Ao longo de 20 anos, o valor acumulado seria de quase R$76.000. A equação para calcular estes valores é a seguinte:

P_N=A\left[\frac{(1+j)^N-1}{j}\right],

na qual A é o valor da despesa mensal, j é a taxa de juros mensal e N é o número total de meses. A fórmula pode ser utilizada em qualquer frequência desejada, basta substituir as variáveis adequadamente. Por exemplo, para calcular o custo real de uma despesa anual, basta usar a taxa de juros anual, e N em número de anos.

É conveniente utilizar estes cálculos com um valor unitário (R$1), assim para saber o custo de uma despesa mensal qualquer, basta multiplicar o valor da despesa pelo fator correspondente. Com uma taxa de juros anual de 10%, os valores são:

Anos Meses Fator de multiplicação
1 12 13
5 60 77
10 120 205
20 240 759
40 480 6324

Um exemplo prático: uma família possui um carro e está considerando a compra de um segundo. Suponha que o custo mensal, incluindo IPVA, seguro, combustível, estacionamento, manutenção etc, corresponda a R$800 por mês. Então o custo real de ter o segundo carro, ao longo de 10 anos (sem considerar a depreciação e o custo de oportunidade do valor gasto para comprar o carro!) seria de R$ 164.000 (R$ 800 x 205).

Duração do patrimônio acumulado

Para nos tornarmos financeiramente independentes, precisamos trabalhar durante um certo tempo, durante o qual iremos economizar parte da nossa renda. O valor economizado será aplicado em algum tipo de investimento. O patrimônio total deste “fundo” será utilizado para financiar o período de independência financeira, durante o qual o fundo continua a render juros, porém sofre retiradas periódicas. Aqui surgem duas perguntas interessantes:

  • Quanto dinheiro sobrará no fundo acumulado após um número de anos de retiradas?
  • Quanto tempo levará para que o fundo acumulado seja completamente consumido?

Para responder a primeira pergunta, vamos assumir que já passamos pelo período de acumulação e acumulamos um fundo de tamanho P_0, e passaremos a consumir este fundo, retirando no início de cada período um valor p. Podemos pensar nestas variáveis tanto em termos monetários (por exemplo, P_0 = R$ 1 milhão, ou em termos de anos de despesa. Neste caso, o valor de P_0 reflete o número de anos de despesa ao qual o valor monetário corresponde. Por exemplo, se a despesa anual é de R$100.000, um fundo de R$ 1 milhão representa 10 anos de despesas. O mesmo vale para o valor da retirada, p. A cada período, o valore remanescente do fundo rende juros j até o próximo período, quando um valor adicional p é retirado. Qual o valor que restará no fundo após N períodos? A resposta é dada pela seguinte fórmula

P_N=P_0(1+j)^N-p\left[\frac{(1+j)^{N+1}-(1+j)}{j}\right]

Vejamos um exemplo: Uma pessoa acumulou um fundo equivalente a 10 vezes a sua despesa anual. Se a taxa anual de retorno for de 6%, quanto restará no fundo após 5 anos?

Aplicando a fórmula com P_0=10, p = 1, j=0,06 e N=5, veremos que o valor que restará no fundo será equivalente a 7,41 anos de despesa.

O exemplo acima é interessante, pois vemos que o efeito dos juros faz com que um fundo equivalente a 10 anos de despesa, após 5 anos de retirada, ainda dure por mais de 7 anos. A próxima pergunta seria, quantos anos durará o fundo até ser totalmente consumido? Resolvendo a equação P_N = 0, chegamos à seguinte fórmula:

N=\frac{\log\left(p(1+j)\right)-\log\left(p(1+j)-P_0 j\right)}{\log\left(1+j\right)}

Com a equação acima, podemos calcular a duração de fundos de vários tamanhos (em termos de anos equivalentes de despesa) para várias taxas de retorno possíveis. A figura abaixo apresenta o resultado. Note que, para taxas de retorno real* bastante conservadoras, da ordem de 3% a 4%, um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual durará, basicamente, para sempre. A fórmula acima é muito interessante, pois permite mensurar o valor que precisa ser poupado para alcançar a independência financeira. Além disso, ela mostra a natureza exponencial do efeito dos juros ou retorno sobre os investimentos. Por exemplo, um fundo equivalente a 10 anos de despesa, aplicado a uma taxa de retorno (real) de 4% ao ano, duraria 13,25 anos. Já um fundo com o dobro do tamanho, 20 anos, duraria o equivalente a 37,38 anos! Ou seja, ao dobrar o tamanho do fundo, o período adicional aumentou de 3,25 anos (o que equivale a 32,5% do tamanho do fundo) para 17,38 anos (o que equivale a quase 87% do tamanho do fundo).

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Tempo necessário para acumular o fundo

Vimos que um fundo equivalente a 10 anos de despesas durará mais do que 10 anos, devido ao efeito do retorno sobre os investimentos. Analogamente, podemos raciocinar que não é preciso acumular o equivalente a 10 anos de despesa, se o objetivo final é financiar um período com esta duração. A pergunta de interesse, portanto, é:

  • Quantos anos é preciso trabalhar para acumular um fundo suficiente para viver X anos?

Por exemplo, suponha que uma pessoa de 30 anos de idade está planejando sua aposentadoria, e tem uma expectativa de vida seja de 90 anos. Se ela pretende se aposentar aos 50 anos, então é necessário acumular um fundo necessário para sobreviver 40 anos. Pela lógica acima, ela precisa na realidade acumular menos do que o equivalente a 40 anos de despesa.

Suponha que a taxa de poupança seja igual a r\% da renda, e que estejamos interessados em acumular um fundo equivalente a um certo número de anos de despesa, o qual podemos denotar por P_0/p, onde P_0 é o tamanho do fundo e p é a despesa anual (ambos em R$). O tempo necessário, em anos, para acumular este fundo é dado por

N=\frac{\log\left(\frac{P_0}{p}\frac{(1-r)}{r}j+1\right)}{\log\left(1+j\right)}

Vimos que um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual, sob circunstâncias normais, pode durar quase indefinidamente. A figura abaixo apresenta o número de anos de trabalho necessários para acumular tal fundo, para várias taxas de retorno sobre os investimentos. As taxas de poupança indicadas em planos de previdência são geralmente da ordem de 10% a 15%, o que implica em um período de contribuição da ordem de 40 a 50 anos, a não ser que seja possível atingir taxas de retorno acima de 10%. Como podemos ver pelo gráfico, a maneira mais eficiente de atingir a IF mais cedo é reduzir os gastos como proporção da renda. Por exemplo, para se tornar independente em 10 anos (começando do zero), basta ter um padrão de vida compatível com gastos da ordem de 30% a 35% da renda. 

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Considerações finais

Obviamente que estas análises são relativamente simplistas e não levam em consideração o patrimônio inicial, mudanças futuras na renda ou no padrão de consumo, ou outras fontes de renda como por exemplo imóveis alugados. Porém, são úteis para dar uma ideia inicial do esforço necessário para se tornar financeiramente independente. A maneira mais simples de fazer uma análise mais realista é através de uma simulação, por exemplo em uma planilha.

*Isto é, excluindo inflação, taxas, impostos etc.

Carteira de variância mínima – Set/12

A partir de agora, começarei a publicar mensalmente carteiras de variância mínima (mais informações aquiaquiaqui e aqui) formadas com as ações que compõe o índice IBOVESPA. Antes de continuar, leia isto.

Para facilitar, vou seguir uma metodologia muito simples:

  • No início de cada mês, considerar as ações que compões o índice IBOVESPA na data de referência (último dia do mês anterior)
  • Calcular matriz de covariância amostral com os últimos 2 anos de dados
  • Obter a Carteira de Variância Mínima (CVM) como solução do problema de minimização da variância abaixo\underset{\boldsymbol w}{\min}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1. \text{ } \left(1\right)
  • Rebalancear mensalmente.

Neste post, estou publicando a CVM para o mês de setembro de 2012 (isto é, obtida utilizando-se dados até agosto de 2012). As carteiras e os resultados ficarão na página Carteiras (menu do blog). A composição da CVM de setembro de 2012 é a seguinte:

Código  Ação Peso
AMBV4 AMBEV 15.59%
TRPL4 TRAN PAULIST 15.33%
CPFE3 CPFL ENERGIA 8.22%
CTIP3 CETIP 7.76%
DASA3 DASA 6.83%
ELPL4 ELETROPAULO 6.82%
VIVT4 TELEF BRASIL 5.71%
CIEL3 CIELO 5.41%
LIGT3 LIGHT S/A 5.15%
NATU3 NATURA 5.12%
UGPA3 ULTRAPAR 5.03%
RDCD3 REDECARD 4.99%
CCRO3 CCR SA 3.86%
CPLE6 COPEL 2.19%
OIBR3 OI 1.21%
CRUZ3 SOUZA CRUZ 0.55%
VALE5 VALE 0.25%
Total 100.00%

Do total de 69 ações do IBOVESPA, a CVM possui pesos significantes em apenas 17.  Conforme os resultados apresentados no meu artigo sobre o assunto, a CVM aloca em ações com beta baixo com o índice. O beta desta carteira é de aproximadamente 0,4. A volatilidade (calculada com últimos 60 retornos diários na data base 31 de agosto 2012) da CVM é de aproximadamente 13% ao ano, enquanto a do IBOVESPA é da ordem de 25% ao ano.

IBOVESPA CVM
Volatilidade 25.29% 13.25%
Beta 1.00 0.41

Os gráficos abaixo apresentam uma comparação entre a composição do IBOVESPA e da CVM, com os nomes das 10 maiores posições.

 

 

 

 

 

 

 

 

No início do próximo mês, publicarei a nova CVM e os resultados relativos à CVM acima.

Monitoramento em tempo real com link DDE

Uma ferramenta imprescindível para trading de modelos quantitativos é a capacidade de monitorar informações como preços, ofertas, volume etc em tempo real, dentro de uma plataforma que possibilite fazer os cálculos relevantes para a tomada de decisão. Na indústria, isso geralmente é feito em plataformas proprietárias escritas em linguagens de programação como C, C# etc, e a captura dos é feita muitas vezes através de um sinal direto fornecido pela Bolsa.

O trader pessoa física tem um acesso bem mais limitado, mas nem por isso está preso ao HB, que em geral é uma ferramenta muito pobre, ou a  plataformas mais caras como o Metastock. Uma alternativa viável é usar o chamado link DDE, disponibilizado por algumas corretoras, em conjunto com aplicativos baratos. O link DDE permite acessar as informações passadas pela corretora dentro de outros aplicativos. Em particular, pode-se acessar os dados através de uma fórmula em uma planilha Excel. Na minha corretora, o link está disponível através do comando “Trade|”. Por exemplo, para monitorar o último preço de PETR4, basta digitar em uma célula a fórmula ” = Trade|Ult!PETR4″ (veja imagem para outro exemplo). Uma ideia possível é ter, em uma planilha, os dados históricos, e em outra, o monitoramento em tempo real. É possível então realizar os cálculos do modelo usando dados passados e o dado mais atual, e tomar uma decisão quase em tempo real.

Exemplo: monitorando preços de compra e venda

Exemplo: monitorando preços de compra e venda

Além de monitorar os preços, o usuário provavelmente gostaria de armazená-los para criar uma base de dados. Infelzimente, fazer isso no Excel não é fácil (pelo menos não encontrei uma maneira simples de fazer isso). Uma alternativa para quem acha que não vale a pena investir em um Metastock é o Amibroker, um software bem mais barato que permite, entre outras coisas, capturar e visualizar dados em tempo real, e criar bases de dados (existe uma versão de teste gratuita, mas que é limitada a 10 ativos). Neste blog há um breve tutorial de como configurar o Amibroker para fazer isso. No exemplo é usado o serviço de DDE da ADVFN, mas funciona com qualquer link DDE (testei com o da minha corretora e funcionou sem problemas).