Artigo sobre construção de carteiras

Cullen Roche, do Pragmatic Capitalism, tem um novo artigo sobre contrução de carteiras. O trabalho resume sucintamente a história da construção de carteiras e toca em várias pontos que tem sido discutidos recentemente em Finanças, com impactos importantes tanto do ponto de vista prático como acadêmico:

  • O único “almoço grátis” em alocação de ativos é a diversificação
  • O debate de investimento passivo (seguir índices) vs ativo (ganhar do mercado), bastante relacionado com o conceito de eficiência no mercado. O Roche defende a tese de que só existe uma carteira verdadeiramente passsiva, que é a carteira formada por todos os ativos financeiros disponíveis no mundo (ele chama esta carteira de Global Financial Asset Portfolio ou GFAP). Qualquer estratégia que divirja desta alocação é, por necessidade, uma estratégia ativa de investimento, pois envolve uma seleção de ativos por parte do investidor.
  • A busca ilusória pelo alfa (retorno superior ao do mercado) – no nível global, não existe alfa, só diferentes tipos de beta (exposição a fatores sistêmicos de risco). A busca pelo alfa gera altos custos e é, para a maioria dos investidores, desnecessária. É mais eficiente e melhor focar em reduzir custos e otimizar os impostos, pois estes são os fatores mais importantes sob os quais o investidor possui algum nível de controle. Eu adicionaria que o fator mais importante ainda é a taxa de poupança.
  • Diferenças entre a percepção de risco dos alocadores ou poupadores (perda financeira permanente ou perda do poder compra ) e dos gestores (divergência do benchmark) – isto é muito importante, pois os incentivos dos gestores não são, em gera, alinhados com o dos poupadores ou investidores.
  • Importância das taxas e impostos no cálculo de retornos reais (o que o Roche chama de real, real returns, i.e o retorno após todas as taxas e impostos, e descontado o efeito da inflação).

Eu havia comentado sobre muitos dos pontos deste artigo (que o Roche já havia feito em seu livro) no post Como Investir. Gosto muito deste tipo de abordagem, pois deixa clara a necessidade de definir metas de investimento e perfil de risco, e desenhar uma estratégia de investimento compatível com isto; implementar a estratégia através de ETFs ou fundos com baixas taxas de administração; e ter disciplina na hora de rebalancear e fazer aportes periódicos na carteira.

 

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Como mensurar a independência financeira através de simulações de Monte Carlo

Em um post passado e no artigo que o acompanha, falei sobre a matemática da independência financeira. A ideia do post era mostrar, através de cálculos simples, o impacto das principais variáveis que afetam a acumulação de riqueza e a possibilidade de alcançar a independência financeira:

  • Patrimônio líquido atual
  • Taxa de poupança
  • Gastos futuros
  • Taxa de retorno
  • Taxa de inflação
  • Duração do período de acumulação

Usando um modelo simples com aportes mensais constantes, exploramos algumas fórmulas fechadas para o valor futuro do patrimônio, o tempo de duração do patrimônio após a “aposentadoria” etc. Como mencionei na época, as fórmulas obtidas são assumidamente simplistas, pois assumem retornos, inflação, poupança e gastos constantes. Mas os resultados são interessantes, pois dão uma aproximação de quanto é necessário poupar para ter uma certa renda passiva.

No artigo, comentei sobre a possibilidade de tornar os cálculos mais realistas, por exemplo assumindo uma dinâmica estocástica para as taxas de retorno e inflação. No mundo real, estas taxas são variáveis e suas trajetórias podem influenciar – e muito – o valor da carteira. Pense por exemplo em um investidor com alocação em ações que planejava se aposentar em 2008.

A ideia é, ao invés de usar taxas de retorno/inflação constantes, utilizar um modelo de simulações de Monte Carlo para simular as trajetórias das taxas de retorno e inflação e, consequentemente, do patrimônio do investidor. Ao repetir a simulação diversas vezes, podemos construir a distribuição do valor do patrimônio futuro, o que permite ter uma ideia da probabilidade de atingir o patrimônio desejado.

Construção do Modelo e Suposições

Assumimos um processo de investimento muito simples. O investidor tem uma certa renda líquida mensal, e poupa uma porcentagem desta renda todo mês. Se chamarmos a renda de R , e a taxa de poupança de p, então o valor do aporte a cada mês é A_t = R \times p, e o valor do gasto mensal é R \times (1-p). O valor do patrimônio a cada mês é dado pela seguinte expressão:

P_t = P_{t-1}(1+ r_t) + A_t ,

onde r_t representa o retorno da carteira do investidor naquele mês. Ou seja, o valor da carteira neste mês é igual ao valor da carteira no mês passado, multiplicado pelo retorno da carteira, acrescido do valor do aporte mensal.

Para o modelo probabilístico de evolução dos retornos, vamos assumir que existem dois ativos: o mercado de ações e o mercado de renda fixa. Vamos representar o mercado de ações pelo índice IBrX, e o mercado de títulos do governo pelo índice de renda fixa IMA da ANBIMA. O investidor aloca x\% no mercado de ações, e o restante (1-x \%) em títulos do governo. Isto permite criar uma carteira bastante balanceada e diversificada entre ações e títulos. O retorno da carteira do investidor é dado por

r_t = x r^A_t + (1-x)r^T_t ,

onde r^A_t é o retorno do mercado de ações (IBrX) e r^T_t é o retorno da carteira de títulos do governo (índice IMA). Usando dados históricos, podemos estimar a média e volatilidade de cada índice, assim com a correlação entre os dois. Os resultados obtidos usando a amostra de janeiro de 2000 a fevereiro de 2016 foram os seguintes:

Ações (IBrX) Títulos do governo (IMA)
Anual Mensal Anual Mensal
Média 11.5% 0.9% 14.5% 1.1%
Volatilidade 26.5% 7.6% 2.6% 0.7%

A correlação entre os dois índices foi de aproximadamente 24%. Isto nos permite calcular a média e volatilidade de qualquer alocação entre os dois ativos*. Por exemplo, uma carteira com 50% de alocação para cada ativo teria a seguinte média e volatilidade:

Carteira
Anual Mensal
Média 13.0% 1.1%
Volatilidade 13.6% 3.9%

A cada mês, simulamos o retorno mensal da carteira usando uma distribuição normal com a média e volatilidade da carteira**.

Para a inflação, utilizei os dados do IPCA, que dão uma inflação média de 0,55% ao mês, com volatilidade de 0,39%. A inflação mensal é simulada de uma distribuição normal com estes parâmetros***. Note que, com a alocação acima para a carteira, isto implica em um retorno real esperado de aproximadamente 6,5% ao ano, bastante generoso. Se olharmos os resultados do último ano, o retorno nominal e real desta carteira foram negativos. O aporte mensal é corrigido pela inflação a cada 12 meses, refletindo o aumento na renda em linha com a inflação. Note que não há suposição de aumento real da renda.

Com esta dinâmica, podemos simular diversos caminhos (trajetórias) para o patrimônio do investidor. O gráfico abaixo mostra uma destas simulações com horizonte de 20 anos (240 meses) com x = 50\% e p=50\%, assim como o valor da carteira se os retornos fossem constantes. Partimos de uma renda de $1, apenas para ter uma base de comparação entre diversas simulações. Nesta simulação, o saldo final da carteira ficou abaixo do saldo se os retornos fossem constantes.

SaldoFinal1simulacaoO gráfico abaixo apresenta 200 trajetórias para o saldo mensal, assim como os percentis de 10% e 90% do saldo de cada mês.

SaldoFinal200simulacao

Descontando a inflação e dividindo o saldo final pelo valor do custo anual (em valor presente, ou seja, dinheiro de hoje), podemos estimar estatísticas para o patrimônio acumulado em termos do número de anos de despesa equivalente. Ou seja, após um certo período de acumulação, quantos anos seria possível viver da renda passiva da carteira. Como mostrei no artigo anterior, um valor de 25 anos de despesa é, em geral, suficiente para sobreviver indefinidamente (considerando que as despesas não aumentem em termos reais). Isto equivale a viver com uma retirada anual de 4% do patrimônio. Por exemplo, se o custo de vida anual for de R$72k (R$6k por mês), seria necessário acumular R$1,8 milhões de reais.

O gráfico abaixo mostra a mediana do saldo final (como proporção do número de anos de despesa) baseado em 5000 simulações, com diferentes horizontes. Vemos que os resultados são muito mais conservadores do que os da Figura 2 do artigo, devido ao efeito da volatilidade dos retornos e da inflação. Por exemplo, com uma taxa de poupança de 40% e retorno real de 6,5%, a Figura 2 do artigo mostrava que seriam necessários pouco menos de 20 anos para alcançar um patrimônio de 25 vezes a despesa anual. Com a inclusão do efeito da volatilidade nos retornos, vemos que seriam necessários aproximadamente 25 anos para ter uma probabilidade de 50% de alcançar o objetivo.

MedianasSaldoFinalAo calcular os percentis 10% e 90% das distribuições, podemos ter uma ideia do pior e melhor caso (com 10% de confiança) para cada horizonte. Os gráficos abaixo mostram estas curvas para diferentes horizontes (5, 10, 15 e 20 anos) e para % de poupança. Com isto podemos ter uma ideia melhor de como atingir um certo patamar de patrimônio com uma margem de segurança. Por exemplo, suponha que o objetivo seja alcançar um patrimônio equivalente a 25 anos de despesas, com uma margem de segurança de 10%. Para isto, precisamos procurar em cada gráfico abaixo, qual a taxa de poupança tal que a curva do percentil 10% (curva azul) está acima de 25 anos de despesa no eixo vertical (representada pela reta laranja).

Para o período de 5 anos de acumulação de patrimônio, vemos que seria necessária uma taxa de poupança superior a 80%. Para 10 anos, seria ligeiramente acima de 70%. Para 15 anos, acima de 60% e para 20 anos, acima de 50%.

5 anos

5 anos

10 anos

10 anos

15 anos

15 anos

20 anos

20 anos

Finalmente, dada uma taxa de poupança fixa, podemos estimar diretamente a probabilidade de alcançar um certo objetivo através dos resultados das simulações. O gráfico abaixo mostra a distribuição do saldo após 10 anos de acumulação de patrimônio, com taxa de poupança de 50%. Com base nos dados usados para criar este histograma, podemos calcular a probabilidade de superar o objetivo de um patrimônio de 25 vezes a despesa anual (basta contar o número de simulações em que o saldo de 10 anos trazido a valor presente superou 25, e dividir pelo número de simulações, que neste caso foi de 5000). O resultado: a probabilidade de alcançar o objetivo em 10 anos com uma taxa de poupança de 50% é menor do que 1%. Faz bastante sentido, já que com 50% de poupança, a cada ano trabalhado economiza-se o suficiente para viver por 1 ano (excluindo efeito de juros e inflação), logo apenas em cenários extremamente favoráveis seria possível acumular tanto dinheiro. A mediana no caso abaixo é de 13 anos, refletindo o fato de o retorno real ser positivo.

HistogramaSaldoFinal10anos

Conclusões

O objetivo deste post foi mostrar como aplicar simulações de Monte Carlo para simular o valor do patrimônio de um investidor, usando um modelo simples de poupança/investimento e da dinâmica estocástica dos ativos do mercado.

Os resultados mostram-se mais conservadores em comparação ao modelo sem aleatoriedade, o que é esperado, pois permitem maior variabilidade nos rendimentos e na inflação. A técnica também permite estimar a probabilidade de atingir um certo objetivo em um dado horizonte.

Este modelo pode ser expandido para criar um simulador ainda mais realista, que permita incluir renda de ativos imobiliários, diferentes dinâmicas de gastos antes e depois do período de acumulação, utilização de contribuições previdenciárias, FGTS etc.

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* O retorno médio da carteira é

\mathbb{E}(r_t) = x \mathbb{E}(r^A_t) + (1-x)\mathbb{E}(r^T_t)

\mu = x \mu^A + (1-x)\mu^B

e a variância da carteira é

Var(r_t) = x^2 Var(r^A_t) + (1-x)^2Var(r^T_t) +2 x(1-x)Cov(r^A_t,r^T_t)

Var(r_t) = x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T

E portanto a volatilidade da carteira é

\sigma = \sqrt{x^2 \sigma^2_A + (1-x)^2\sigma^2_T +2 x(1-x)\rho_{A,T}\sigma_A\sigma_T}

** A escolha da distribuição normal é arbitrária e não muito realista, já que os retornos de ativos financeiros raramente seguem distribuições normais. Além disto, a volatilidade dos ativos financeiros não é constante. Porém, para demonstrar o conceito, decidi manter a maior simplicidade possível.

A geração dos cenários (valores dos retornos) é extremamente simples de ser feita. Lançamos mão de um resultado de Estatística que mostra que podemos gerar valores de quase qualquer distribuição de probabilidade através de números aleatórios de uma distribuição uniforme. O processo consiste em gerar um número aleatório uniforme (função ALEATÓRIO no Excel) e aplicar o inverso da função de distribuição acumulada que queremos gerar. Portanto para gerar um número de uma distribuição normal com média mu e desvio padrão sigma, basta usar no Excel a expressão INV.NORM(ALEATÓRIO, mu, sigma).

*** O mais correto seria modelar a distribuição conjunta das três variáveis (mercado de ações, de títulos e inflação). Novamente, optei por mantes a simplicidades.

A matemática da independência financeira

Tenho lido bastante sobre independência financeira e decidi escrever um pouco para organizar melhor as idéias. Há um livro chamado Early Retirement Extreme, que como o nome diz, é sobre estratégias radicais para se aposentar mais cedo. O autor do livro, Jacob Fisker, propõe mudanças extremas no padrão de consumo e no estilo de vida, que possibilitem economizar algo da ordem de 70% da renda. Isto permitiria alcançar a independência financeira em menos de 10 anos de trabalho. Um outro proponente de um estilo de vida mais frugal, porém não tão radical, é o Mr. Money Mustache, cujo blog mencionei recentemente e que possui um post, baseado nos cálculos apresentados no livro de Fisker.

Os cálculos de independência financeira desenvolvidos por Fisker são relativamente simples e baseiam-se em conceitos corriqueiros de matemática financeira, como juros compostos. O que estes cálculos demonstram é algo bastante intuitivo: dentre os fatores que influenciam no tempo necessário para se tornar financeiramente independente, o mais importante é a taxa de poupança, ou seja, a proporção dos rendimentos líquidos que não são gastos.

Há diversos outros fatores que precisam ser levados em consideração em qualquer cálculo deste gênero, como por exemplo a taxa de retorno sobre os recursos investidos, a inflação e o nível de consumo que se pretende ter no futuro, ou seja, as retiradas no período de consumo dos recursos poupados. No entanto, a taxa de poupança é o mais importante principalmente por dois motivos:

  • Está diretamente sob nosso controle, ao contrário de outros fatores como o retorno sobre os investimentos (sobre o qual temos controle parcial) e a inflação (sobre o qual não temos controle);
  • Quanto maior a taxa de poupança, mais dramático é o efeito dos retornos sobre os investimentos, ou seja, menor o tempo necessário para acumular os recursos necessários para se tornar financeiramente independente.

Apresento a seguir alguns dos cálculos básicos de independência financeira. Apesar de as fórmulas estarem reproduzidas abaixo, elas não são essenciais para entender os conceitos, os quais são demonstrados com exemplos e gráficos. Para o leitor mais interessado, escrevi um pequeno artigo com mais detalhes e exemplos, incluindo a derivação das fórmulas (para quem quiser se relembrar de fórmulas de PA e PG :-P).

Custo real de uma despesa recorrente

Vamos então a alguns resultados interessantes. O primeiro é o cálculo do custo real de uma despesa recorrente. Suponha que você possui uma despesa recorrente de R$100 por mês. Caso você deixasse de ter esta despesa e investisse o valor todo mês, o dinheiro renderia juros e portanto, o custo real da despesa reflete este custo de oportunidade. Se a taxa de retorno sobre o investimento for, por exemplo, de 10% ao ano, após um período de 10 anos o valor acumulado seria superior a R$20.0000. Ao longo de 20 anos, o valor acumulado seria de quase R$76.000. A equação para calcular estes valores é a seguinte:

P_N=A\left[\frac{(1+j)^N-1}{j}\right],

na qual A é o valor da despesa mensal, j é a taxa de juros mensal e N é o número total de meses. A fórmula pode ser utilizada em qualquer frequência desejada, basta substituir as variáveis adequadamente. Por exemplo, para calcular o custo real de uma despesa anual, basta usar a taxa de juros anual, e N em número de anos.

É conveniente utilizar estes cálculos com um valor unitário (R$1), assim para saber o custo de uma despesa mensal qualquer, basta multiplicar o valor da despesa pelo fator correspondente. Com uma taxa de juros anual de 10%, os valores são:

Anos Meses Fator de multiplicação
1 12 13
5 60 77
10 120 205
20 240 759
40 480 6324

Um exemplo prático: uma família possui um carro e está considerando a compra de um segundo. Suponha que o custo mensal, incluindo IPVA, seguro, combustível, estacionamento, manutenção etc, corresponda a R$800 por mês. Então o custo real de ter o segundo carro, ao longo de 10 anos (sem considerar a depreciação e o custo de oportunidade do valor gasto para comprar o carro!) seria de R$ 164.000 (R$ 800 x 205).

Duração do patrimônio acumulado

Para nos tornarmos financeiramente independentes, precisamos trabalhar durante um certo tempo, durante o qual iremos economizar parte da nossa renda. O valor economizado será aplicado em algum tipo de investimento. O patrimônio total deste “fundo” será utilizado para financiar o período de independência financeira, durante o qual o fundo continua a render juros, porém sofre retiradas periódicas. Aqui surgem duas perguntas interessantes:

  • Quanto dinheiro sobrará no fundo acumulado após um número de anos de retiradas?
  • Quanto tempo levará para que o fundo acumulado seja completamente consumido?

Para responder a primeira pergunta, vamos assumir que já passamos pelo período de acumulação e acumulamos um fundo de tamanho P_0, e passaremos a consumir este fundo, retirando no início de cada período um valor p. Podemos pensar nestas variáveis tanto em termos monetários (por exemplo, P_0 = R$ 1 milhão, ou em termos de anos de despesa. Neste caso, o valor de P_0 reflete o número de anos de despesa ao qual o valor monetário corresponde. Por exemplo, se a despesa anual é de R$100.000, um fundo de R$ 1 milhão representa 10 anos de despesas. O mesmo vale para o valor da retirada, p. A cada período, o valore remanescente do fundo rende juros j até o próximo período, quando um valor adicional p é retirado. Qual o valor que restará no fundo após N períodos? A resposta é dada pela seguinte fórmula

P_N=P_0(1+j)^N-p\left[\frac{(1+j)^{N+1}-(1+j)}{j}\right]

Vejamos um exemplo: Uma pessoa acumulou um fundo equivalente a 10 vezes a sua despesa anual. Se a taxa anual de retorno for de 6%, quanto restará no fundo após 5 anos?

Aplicando a fórmula com P_0=10, p = 1, j=0,06 e N=5, veremos que o valor que restará no fundo será equivalente a 7,41 anos de despesa.

O exemplo acima é interessante, pois vemos que o efeito dos juros faz com que um fundo equivalente a 10 anos de despesa, após 5 anos de retirada, ainda dure por mais de 7 anos. A próxima pergunta seria, quantos anos durará o fundo até ser totalmente consumido? Resolvendo a equação P_N = 0, chegamos à seguinte fórmula:

N=\frac{\log\left(p(1+j)\right)-\log\left(p(1+j)-P_0 j\right)}{\log\left(1+j\right)}

Com a equação acima, podemos calcular a duração de fundos de vários tamanhos (em termos de anos equivalentes de despesa) para várias taxas de retorno possíveis. A figura abaixo apresenta o resultado. Note que, para taxas de retorno real* bastante conservadoras, da ordem de 3% a 4%, um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual durará, basicamente, para sempre. A fórmula acima é muito interessante, pois permite mensurar o valor que precisa ser poupado para alcançar a independência financeira. Além disso, ela mostra a natureza exponencial do efeito dos juros ou retorno sobre os investimentos. Por exemplo, um fundo equivalente a 10 anos de despesa, aplicado a uma taxa de retorno (real) de 4% ao ano, duraria 13,25 anos. Já um fundo com o dobro do tamanho, 20 anos, duraria o equivalente a 37,38 anos! Ou seja, ao dobrar o tamanho do fundo, o período adicional aumentou de 3,25 anos (o que equivale a 32,5% do tamanho do fundo) para 17,38 anos (o que equivale a quase 87% do tamanho do fundo).

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Duração de fundos de diversos tamanhos iniciais para várias taxas de retorno

Tempo necessário para acumular o fundo

Vimos que um fundo equivalente a 10 anos de despesas durará mais do que 10 anos, devido ao efeito do retorno sobre os investimentos. Analogamente, podemos raciocinar que não é preciso acumular o equivalente a 10 anos de despesa, se o objetivo final é financiar um período com esta duração. A pergunta de interesse, portanto, é:

  • Quantos anos é preciso trabalhar para acumular um fundo suficiente para viver X anos?

Por exemplo, suponha que uma pessoa de 30 anos de idade está planejando sua aposentadoria, e tem uma expectativa de vida seja de 90 anos. Se ela pretende se aposentar aos 50 anos, então é necessário acumular um fundo necessário para sobreviver 40 anos. Pela lógica acima, ela precisa na realidade acumular menos do que o equivalente a 40 anos de despesa.

Suponha que a taxa de poupança seja igual a r\% da renda, e que estejamos interessados em acumular um fundo equivalente a um certo número de anos de despesa, o qual podemos denotar por P_0/p, onde P_0 é o tamanho do fundo e p é a despesa anual (ambos em R$). O tempo necessário, em anos, para acumular este fundo é dado por

N=\frac{\log\left(\frac{P_0}{p}\frac{(1-r)}{r}j+1\right)}{\log\left(1+j\right)}

Vimos que um fundo equivalente a 25 vezes a despesa anual, sob circunstâncias normais, pode durar quase indefinidamente. A figura abaixo apresenta o número de anos de trabalho necessários para acumular tal fundo, para várias taxas de retorno sobre os investimentos. As taxas de poupança indicadas em planos de previdência são geralmente da ordem de 10% a 15%, o que implica em um período de contribuição da ordem de 40 a 50 anos, a não ser que seja possível atingir taxas de retorno acima de 10%. Como podemos ver pelo gráfico, a maneira mais eficiente de atingir a IF mais cedo é reduzir os gastos como proporção da renda. Por exemplo, para se tornar independente em 10 anos (começando do zero), basta ter um padrão de vida compatível com gastos da ordem de 30% a 35% da renda. 

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Número de anos de trabalho necessários para acumular um fundo de 25 anos

Considerações finais

Obviamente que estas análises são relativamente simplistas e não levam em consideração o patrimônio inicial, mudanças futuras na renda ou no padrão de consumo, ou outras fontes de renda como por exemplo imóveis alugados. Porém, são úteis para dar uma ideia inicial do esforço necessário para se tornar financeiramente independente. A maneira mais simples de fazer uma análise mais realista é através de uma simulação, por exemplo em uma planilha.

*Isto é, excluindo inflação, taxas, impostos etc.

Um blog sobre independência financeira

MrMoneyMustache é um excelente blog sobre independência financeira e frugalidade, que é leitura obrigatória para qualquer um interessado em se aposentar cedo.

Algumas ideias podem até parecer extremas a princípio. Por outro lado, vivemos em um mundo que às vezes faz pouco sentido e é legal ver um cara que teve coragem de mudar e ir na contra-mão do que é considerado “normal”, principalmente aqui nos EUA, onde se endividar para comprar bens de consumo é considerado absolutamente razoável.

Esta apresentação do MMM, chamada “Happiness vs Riches“, é bastante interessante.