A vol aparece

Ação do VIX de hoje em perspectiva: maior aumento de 1 dia (17.31 para 37.32), percentil 94% de nível (considerando histórico desde fevereiro de 2007):

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Artigo sobre construção de carteiras

Cullen Roche, do Pragmatic Capitalism, tem um novo artigo sobre contrução de carteiras. O trabalho resume sucintamente a história da construção de carteiras e toca em várias pontos que tem sido discutidos recentemente em Finanças, com impactos importantes tanto do ponto de vista prático como acadêmico:

  • O único “almoço grátis” em alocação de ativos é a diversificação
  • O debate de investimento passivo (seguir índices) vs ativo (ganhar do mercado), bastante relacionado com o conceito de eficiência no mercado. O Roche defende a tese de que só existe uma carteira verdadeiramente passsiva, que é a carteira formada por todos os ativos financeiros disponíveis no mundo (ele chama esta carteira de Global Financial Asset Portfolio ou GFAP). Qualquer estratégia que divirja desta alocação é, por necessidade, uma estratégia ativa de investimento, pois envolve uma seleção de ativos por parte do investidor.
  • A busca ilusória pelo alfa (retorno superior ao do mercado) – no nível global, não existe alfa, só diferentes tipos de beta (exposição a fatores sistêmicos de risco). A busca pelo alfa gera altos custos e é, para a maioria dos investidores, desnecessária. É mais eficiente e melhor focar em reduzir custos e otimizar os impostos, pois estes são os fatores mais importantes sob os quais o investidor possui algum nível de controle. Eu adicionaria que o fator mais importante ainda é a taxa de poupança.
  • Diferenças entre a percepção de risco dos alocadores ou poupadores (perda financeira permanente ou perda do poder compra ) e dos gestores (divergência do benchmark) – isto é muito importante, pois os incentivos dos gestores não são, em gera, alinhados com o dos poupadores ou investidores.
  • Importância das taxas e impostos no cálculo de retornos reais (o que o Roche chama de real, real returns, i.e o retorno após todas as taxas e impostos, e descontado o efeito da inflação).

Eu havia comentado sobre muitos dos pontos deste artigo (que o Roche já havia feito em seu livro) no post Como Investir. Gosto muito deste tipo de abordagem, pois deixa clara a necessidade de definir metas de investimento e perfil de risco, e desenhar uma estratégia de investimento compatível com isto; implementar a estratégia através de ETFs ou fundos com baixas taxas de administração; e ter disciplina na hora de rebalancear e fazer aportes periódicos na carteira.

 

O efeito de momento em ações

O efeito de momento é a tendência observada no mercado de as ações ganhadoras continuarem a ganhar, e das perdedoras continuarem a perder. Geralmente ela é definida em termos de um corte transversal no universo das ações disponíveis, de acordo com o retorno passado. Ou seja, as ações são ordenadas com base no retorno em um período passado (por exemplo, últimos 6 meses) e forma-se uma carteira long-short com posições compradas nos papéis com maior retorno, e posições vendidas nos papéis de menor retorno. Geralmente são considerados os 10% superiores e inferiores das ações para formar as carteiras. A figura abaixo, na qual cada barra representa o retorno de uma ação,  mostra este processo.

Momentum

O efeito de momento foi documentado por Jegadeesh e Titman (1993). Porém, está relacionado com a ideia de tendência nos preços, a qual existe há muito tempo. Em um artigo que publiquei em 2013, usei um modelo de mudanças de regime para investigar a persistência do prêmio de momento no mercado americano ao longo do período 1927-2010. A conclusão foi que o prêmio de momento havia desaparecido desde o início dos anos 2000, muito provavelmente devido à atividade cada vez maior de investidores sofisticados que tentam arbitrar este retorno.

Um artigo recente investiga o prêmio de momento até 2014, estudando a estratégia de momento no corte transversal (cross-section momentum), descrita acima, assim como uma versão chamada de momento de séries temporais (times series momentum), na qual as carteiras vencedora/perdedora são montadas considerando todas as ações com retorno positivo/negativo no período de formação. O artigo também investiga uma estratégia que combina as duas versões de momento (dual momentum).

O gráfico abaixo mostra o retorno acumulado destas estratégias. A estratégia de momento combinada (dual momentum) tem resultado melhor do que a de séries temporais, que por sua vez supera a estratégia de momento no corte transversal das ações. Porém, é interessante notar que o resultado de todas as estratégias, desde o final de 1999, é nulo ou até negativo, em linha com a conclusão a que eu tinha chegado com a amostra até 2010.

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Efeito de Momento no Brasil

A evidência do efeito de momento no Brasil é mista. Por exemplo, Bonomo e Dall’Agnol (2003) investigaram estratégias de investimento contrárias (basicamente o oposto das estratégias de momentum) e não encontraram evidência do efeito de momentum; de fato as estratégias contrárias nos horizontes curtos em que momentum funciona nos mercados desenvolvidos parece maior. Porém o estudo foi feito em períodos de grandes mudanças no mercado brasileiro e com uma amostra até 2000. Mussa et al (2007)  investigaram a estratégia de momento de Jegadeesh e Titman e encontraram evidência de retornos anormais apenas para algumas versões da estratégia. Estudos subsequentes (Mussa et al (2008) e Valle e Flister et al (2011)) mostraram resultados divergentes, sem diferença significativa entre o retorno das ações ganhadoras e perdedoras.

Em um post anterior, eu investiguei superficialmente o efeito de momento no mercado brasileiro, porém considerando apenas o lado comprado da estratégia, e encontrei alguma evidência de que é possível obter retornos bastante superiores ao do mercado, tanto utilizando uma carteira igualmente ponderada, como o índice Ibovespa. A estratégia pode ser melhorada quando combinada com alguma regra para evitar perdas em períodos de volatilidade acentuada no mercado. Uma ideia interessante seria testar no mercado brasileiro a estratégia de momento de séries temporais e a estratégia de momento combinada.

 

Novos índices de ações COPPEAD/Valor

O Valor Econômico, em conjunto com o COPPEAD, lançou recentemente dois índices de ações. Um deles é uma carteira igualmente ponderada dos 20 ativos com maior índice de Sharpe dentro do universo do IbrX. O outro índice representa uma carteira de variância mínima com algumas restrições.

O leitor do blog sabe que venho defendendo investimentos deste tipo há algum tempo, especialmente os investimentos em ações de baixa volatilidade ou variância mínima. Diversos artigos (inclusive o meu) demonstram a superioridade destas carteiras em relação a índices comumente utilizados, como o Ibovespa. Porém, na minha experiência, uma carteira igualmente ponderada das ações com menor volatilidade geralmente supera a carteira de variância mínima.

Estilização do problema de alocação

De qualquer maneira, é um avanço. Agora, o que falta é algum gestor vender um ETF que acompanhe esses índices a um custo baixo. Isto permitiria ao investidor comum obter um retorno superior, com risco menor, e com um custo operacional menor do que o de replicar o índice diretamente através da compra direta das ações.

Os mercados são eficientes?

Já falei diversas vezes aqui no blog sobre o conceito do mercado eficiente. Resumidamente, a hipótese do mercado eficiente afirma que os preços dos ativos sempre refletem toda a informação disponível. Logo, oportunidades de arbitragem não deveriam existir – ou pelo menos deveriam ser corrigidas rapidamente.

Se os mercados forem eficientes, então só é possível obter retornos maiores assumindo riscos maiores. No entanto, diversas “anomalias” existentes no mercado colocam em questão esta visão de mundo. As aspas são necessárias porque, para definir que algo é uma anomalia, é preciso primeiro definir um modelo para apreçar (dar preço para) os ativos. Já falamos de diversas destas anomalias aqui no blog: efeito de volatilidade, de momentum, de valor, tamanho etc. Basicamente estas anomalias mostram evidência de que um certo modelo de apreçamento não consegue explicar os retornos de certas estratégias ou carteiras de ativos. Estas anomalias são também chamadas de fatores, devido ao seu uso nos modelos de apreçamento multifatoriais utilizados pelos investidores para previsão de retorno e gestão de risco. A literatura de finanças revelou centenas de “fatores” que explicam os retornos dos ativos*.

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Uma das discussões centrais em Finanças é, portanto, se estas anomalias ou fatores mostram que o mercado é ineficiente, devido por exemplo aos vieses cognitivos e comportamentais dos players do mercado, (o chamado mispricing) ou se elas são reflexo (e recompensa) de algum fator de risco que está faltando no modelo de apreçamento**. Os defensores da hipótese do mercado eficiente acreditam na segunda opção, enquanto a primeira alternativa é defendida pela escola de Finanças comportamentais***.

Um artigo recente, publicado no Journal of Finance, trouxe mais evidências de que os mercados não são tão eficientes. O artigo estuda 97 fatores que foram identificados na literatura acadêmica como previsores de retornos, comparando esta previsibilidade em três períodos diferentes: (1) no período originalmente utilizado no estudo, (2) no período subsequente, porém antes da publicação do artigo, e (3) no período após a publicação. O artigo mostra que o retorno médio dos fatores após a publicação do artigo é reduzido em 58%, enquanto no período após a descoberta do fator, mas antes da publicação, a redução é de 26%. Considerando que alguns investidores podem ficar sabendo da pesquisa antes da publicação, o valor de 26% é considerado como um limite superior para o efeito de viés estatístico. Assim, os autores cconcluem que pelo menos 32% do retorno médio dos fatores é reduzido através da publicação da pesquisa sobre o fator.

A implicação do artigo é forte: os investidores aprendem sobre mispricing através das publicações acadêmicas, e a maioria ou todos os fatores utilizados no estudo são o resultado de mispricing, e não recompensa por risco. O motivo é que, se os fatores representassem recompensa por risco, o retorno deveria persistir no futuro, já que os investidores racionais não alterariam suas estratégias e decisões de investimento.

Se os retornos dos fatores são o resultado de mispricing, não é esperado que eles desapareçam imediatamente, mas decaiam ao longo do tempo, devido aos limites à arbitragem e fricções no mercado como custos operacionais, dificuldades em manter posições vendidas etc.

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* Em um dos meus artigos, explorei o uso de um modelo Bayesiano para tentar determinar qual grupo de fatores melhor explica os retornos de ações individuais.

** Uma terceira possibilidade é que a relação entre um fator e os retornos esperados seja espúria, um viés estatístico devido ao processo de mineração de dados utilizado nas pesquisas. Se este for o caso, o fator não terá previsibilidade fora da amostra utilizada para encontrá-lo. Quanto maior o número de pesquisadores e a massa de dados que eles vasculham, maior a probabilidade de que sejam encontradas variáveis que parecem explicar os retornos. Por isto é tão importante o teste de previsibilidade fora da amostra original. Um artigo recente explora este assunto e propõe ajustes nos testes estatísticos utilizados para determinar a significância de um fator.

*** Eu pessoalmente não acredito na hipótese do mercado eficiente, no seu sentido completo. Creio que arbitragens reais (ou seja, a possibilidade de ter ganho certo depois de custos) são muito raras, porém mispricings que representam arbitragens estatística (nas quais o lucro esperado é positivo, porém é possível perder dinheiro) podem persistir por longos períodos. Existe bastante evidência de que: (1)  os participantes do mercado não agem sempre de maneira racional, conforme assumido por alguns modelos de equilíbrio, (2) os incentivos dos gestores de recursos muitas vezes são conflitantes, gerando limites para sua capacidade de atuarem como arbitradores, (3) há muita assimetria de informação e empecilhos operacionais para permitir arbitragem completa das ineficiências. Além disto, não vejo nenhum motivo para existirem os míticos fatores de risco permeantes, imutáveis, que explicam os preços de todos os ativos. Esta construção teórica me parece muito ideológica, a “mão invisível” do mercado financeiro.

A arte de não prestar atenção no ruído

Compartilhando um post interessante no blog Motley Fool sobre a tendência dos investidores de focarem demais nos acontecimentos recentes. Este comportamento miópico está relacionado ao chamado “viés de recência“, o viés cognitivo que leva as pessoas a dar um peso demasiadamente grande para os acontecimentos recentes, em detrimento das tendências ou evidências de longo prazo*.

Obviamente estou falando de investidores cujo horizonte de investimento é relativamente longo. Para um day trader ou mesmo alguém que faz stock picking, faz todo o sentido focar no curto prazo. Já para um investidor passivo, que rebalanceia sua carteira com uma frequência baixa e cujo horizonte é de muitos anos ou décadas, que sentido faz checar o que acontece no mercado a cada minuto?  Este investidor está tentando se beneficiar de retornos que serão realizados ao longo de meses e anos. Se ele possui uma estratégia de investimento bem definida, basta segui-la. Isto não significa que não se deva prestar atenção ao que acontece no mercado. Mas se a carteira de investimento está alinhada com a estratégia e o perfil de risco do investidor, não é preciso saber o que acontece no mercado a cada minuto e o investidor deveria poder dormir tranquilamente, com a segurança de que sua carteira possui o nível de risco desejado.

Quando focamos muito nas notícias e movimentos recentes, surge uma tendência ou até uma tentação de mexer nos investimentos, já que há uma sensação de que precisamos reagir às notícias e eventos. Isto tende a ser ruim por vários motivos. Em primeiro lugar, quanto maior a movimentação nos investimentos, mais dinheiro perdemos com taxas e custos de operação. Em segundo lugar, já não é trivial definir uma estratégia de investimento e montar uma carteira para um horizonte longo. Quando tentamos “acertar” o que acontecerá baseado em pequenos sinais observados no mercado, a chance de acertar tende a zero em 99.99% dos casos. Finalmente, quando um investidor altera a composição de sua carteira baseado em acontecimentos muitas vezes irrelevantes, torna-se difícil avaliar a eficácia da estratégia, pois o resultado realizado não está alinhado com a estratégia.

A mídia financeira vende a ideia oposta: cada movimento do mercado deve ser analisado minuciosamente; as altas e baixas são explicadas por especialistas citando todos os fatores internos e externos que levaram aos resultados do dia. Há uma sensação de urgência, de que tudo o que está ocorrendo é importante, quando na verdade a maioria dos dias traz movimentos praticamente aleatórios. Hoje, por exemplo, o IBOVESPA fechou em baixa de 1,26%. O Valor nos explica que  “operadores relataram um movimento de realização de lucro liderado por investidores estrangeiros”. Todo dia haverá uma explicação nesta linha, com os principais “drivers” da movimentação diária. Estas explicações ex-post são, essencialmente, inúteis. O mercado de ações é, bem, um mercado. Para cada comprador, há um vendedor. Não houve “mais vendores ou bears” do que “compradores ou bulls” e a variação do dia é impossível de se prever com qualquer grau de precisão.

Resumindo, gostei do post do Motley e vai muito na linha do que acredito. Acho que nestes casos vale a máxima “menos é mais”: informação demais sobre o mercado pode não ser benéfica. Eu leio muito e acompanho o mercado financeiro diariamente, pois faz parte do meu trabalho. Porém, é importante desenvolver um “filtro” para separar o relevante do resto.

 

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*Quando há um desastre aéreo, por exemplo, muitas pessoas tornam-se receosas de viajar de avião, apesar de as estatísticas demonstrarem que este é um dos meios de transporte mais seguros.

IBOV vs IBrX – Qual o menos pior?

Os dois índices mais utilizados no mercado brasileiro são o IBOV e o IBrX, sendo que o IBOV é o mais antigo (existe desde 1968) e também o mais importante. Até recentemente, havia uma diferença conceitual grande entre os dois índices: o IBOV ponderava as ações com base na liquidez, enquanto o IBrX pondera as ações pelo valor de mercado. No início de 2014, a metodologia de cálculo do IBOV foi alterada e a ponderação passou a ser feita de maneira similar à do IBrX. Além disto, o IBrX procura conter 100 ações entre as mais negociadas, dentro de certo critérios de liquidez, enquanto o IBOV historicamente tem tido um número bem menor de papéis.

Como medidas amplas do desempenho do mercado de ações brasileiros, os índices são bastante utilizados como benchmarks para medir o desempenho relativo de fundos e carteiras de ações. Tenho usado sempre o IBOV nas comparações das estratégias que apresento aqui no blog.

É notável que, nestas comparações que faço aqui no blog, o IBOV costuma estar abaixo do CDI. Quando isto ocorre, significa que o investidor teria se dado melhor simplesmente deixando o dinheiro “parado” no banco, do que investimento no mercado de ações. Isto sem contar que o IBOV não leva em consideração nenhum custo, ou seja, na prática o resultado de um investidor que faz tracking do IBOV é pior ainda. Conforme venho mostrando aqui, é relativamente fácil superar o IBOV através de regras simples e mecânicas de seleção de ações (ver por exemplo este post).

O fato de o IBOV perder do CDI em períodos curtos, de 1 ou mesmo 2 anos, seria absolutamente normal. Porém, como as taxas de juros no Brasil são muito altas, os índices de ações perdem do ativo livre de risco (CDI) ao longo de períodos bem mais longos. O gráfico abaixo apresenta o retorno acumulado do IBOV (verde), IBrX (branco) e CDI (roxo), entre 1996 até o final de abril de 2015. Neste período de quase 20 anos, o IBOV expôs o investidor a um alto risco (volatilidade anual de 33%), porém entregou retorno inferior ao do CDI. Apesar disto, o retorno anual do IBOV no período ainda foi alto: 14.1%, o que significa que o capital inicial do investidor foi multiplado por um fator de 12. O IBrX ficou acima do CDI, com um retorno anualizado de 17.6% e uma volatilidade um pouco menor do que a do IBOV (29.6%). Entretanto, considerando o retorno ajustado ao risco (índice de Sharpe), o IBrX também não se sai bem: o índice de Sharpe foi próximo de 0.

IBOV CDI 1996-2005

IBOV IBrX CDI
CAGR 14.1% 17.6% 16.4%
Retorno total 1160.2% 2156.2% 1765.0%
Volatilidade 33.2% 29.6%
Sharpe -0.07 0.04

Pegando um período mais recente, de 2006 até abril de 2015, temos uma situação ainda pior. Tanto o IBOV como o IBrX perdem para o CDI. Os retornos anuais ficam em 5.5% (IBOV) e 8.4% (IBrX), contra 10.9% d CDI. Além disso, os índices estão em patamares similares aos de 2007 (IBOV) e 2008 (IBrX). Ou seja, temos um período entre 7 a 8 anos no qual o retorno total do mercado de ações, medido pelos índices, foi igual a zero, e um período de mais de 9 anos no qual o retorno foi abaixo do CDI.

IBOV CDI 2006-2005

IBOV IBrX CDI
CAGR 5.5% 8.4% 10.9%
Retorno total 65.1% 111.2% 162.1%
Volatilidade 28.7% 27.6%
Sharpe -0.38 -0.29

Algumas conclusões:

  • Com a mudança no cálculo de IBOV, a diferença entre os dois índices tornou-se bem menor. Porém, como podemos ver pelo primeiro gráfico, faz muita diferença considerar o IBrX como benchmark, principalmente quando consideramos resultados (históricos ou de backtests) de períodos longos.
  • O fato de a taxa básica de juros no Brasil ser tão alta, especialmente nos períodos mais antigos, torna a comparação entre ativos de risco e o ativo livre de risco difícil no nosso mercado.
  • Mesmo assim, existem estratégias simples para investir em ações, com critérios mecânicos para selecionar as ações, que permitem obter um retorno no mercado de ativos de risco compatível com o risco tomado.
  • Já demorou para lançarem um ETF utilizando alguma destas estratégias!

Entrevista com Mohamed El-Erian

Entrevista interessante com El-Erian, ex-CEO/CIO da Pimco. El-Erian Acredita que estamos próximos de uma bolha nos mercados deenvolvidos, devido às ações dos bancos centrais nos países desenvolvidos:

Q. Where is your money? Stocks? Treasuries? Bonds?

A. It is mostly concentrated in cash. That’s not great, given that it gets eaten up by inflation. But I think most asset prices have been pushed by central banks to very elevated levels.

Q. So we’re nearing a bubble?

A. Go back to central banks. Central banks look at growth, at employment, at wages. They are too low. They don’t have the instruments they need, but they feel obliged to do something. So they artificially lift asset prices by maintaining zero interest rates and by using their balance sheet to buy assets.

Why? Because they hope that they will trigger what’s called the wealth effect. That you will open your 401k, see it has gone up in price, and you’ll spend. And that companies will see their shares are going up and they will be more willing to invest. But there is a massive gap right now between asset prices and fundamentals.

Long-Short através de Cointegração – Parte 3

Este post é parte de uma série sobre como fazer operações de arbitragem estatística (long-short) através da técnica de cointegração. No primeiro post da série, introduzi intuitivamente o conceito de cointegração, que permite encontrar pares (ou outras combinações) de ativos que “andam juntos”. No segundo post, expliquei conceitualmente um teste simples de estacionariedade, conhecido como teste de Dickey-Fuller (DF), apresentei sua versão “aumentada”, e introduzi o Método de Engle-Granger, que permite testar se duas séries não-estacionárias são cointegradas.

Neste post, darei um exemplo prático da aplicação deste teste utilizando o Excel. É necessário ter o pacote de Análise de Dados instalado.

Relembrando, o processo para testar se duas séries são cointegradas consiste em primeiro testar se elas são não-estacionárias. Caso ambas sejam, é feita uma regressão entre as séries de preços, e utiliza-se o teste DF (ou o teste DF Aumentado) para testar a estacionariedade dos resíduos. Se os resíduos forem estacionários, a série é cointegrada.

Escolhi as ações QUAL3 (QualiCorp SA, uma empresa do ramo de seguro-saúde) e RENT3 (Localiza Rent a Car SA, uma locadora de automóveis) para o exercício. Os dados compreendem o período entre outubro de 2012 e outubro de 2014. Estas duas ações são cointegradas ao nível de 1% de significância neste período, o que é um tanto contra-intuitivo, considerando que são de setores totalmente diferentes. Todos os cálculos mencionados estão demonstrados e explicados na planilha que acompanha o post, disponível no link abaixo:

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Ressalto que esta escolha foi arbitrária e ilustrativa, e não quer dizer que seja possível operar este par de maneira lucrativa.

Comecemos por analisar as séries de preços das duas ações. Conforme podemos ver no gráfico abaixo, os preços das duas ações parecem se comportar, à primeira vista, de maneira similar:

Precos QUAL3 RENT3

 

Passo 1 – Testar se cada série é não-estacionária

Vamos começar. O primeiro passo é testar se cada uma das séries é não-estacionária, aplicando o teste DF em cada série de preços. A hipótese nula do teste DF é que a série é não-estacionária, portanto neste primeiro teste queremos que a hipótese nula não seja rejeitada.

Para aplicar o teste DF, precisamos primeiro calcular os valores defasados (lags) de cada série e o delta (diferença entre o preço do dia e o preço do dia anterior), e após isto fazer regressão do delta no lag. Por exemplo, para QUAL3 esta regressão seria:

\Delta P_t^{QUAL3}= a + b P_{t-1}^{QUAL3} + e_t^{QUAL3}

onde P_t^{QUAL3} representa o preço de QUAL3 no dia t e \Delta P_t^{QUAL3} = P_t^{QUAL3} - P_{t-1}^{QUAL3} é o delta do preço de QUAL3.

Ao estimar esta regressão (aba “Teste Estac. QUAL3”), obtemos a seguinte equação:

\Delta P_t^{QUAL3}= 21.37 -0.45 \times P_{t-1}^{QUAL3}

e o valor da estatística t para o coeficiente b é -1.29. O valor crítico do teste DF (ver tabela no segundo post da série) é de -2.87. Portanto concluímos com base no teste DF que a série é não-estacionária (não rejeitamos a hipótese nula pois a estatística do teste é menor do que o valor crítico).

O teste para RENT3 chega à mesma conclusão (ver aba “Teste Estac. RENT3”). Podemos então seguir para o próximo passo.

Passo 2 – Aplicar Metodologia de Engle-Granger

No segundo passo temos duas etapas: primeiro estimaremos uma regressão dos preços de QUAL3 em RENT3 e salvaremos os resíduos desta regressão. A seguir, aplicaremos o teste DF nestes resíduos. Neste teste queremos que a hipótese nula de não-estacionariedade seja rejeitada, o que implicará que uma combinação linear dos preços das ações é estacionária e portanto elas são cointegradas.

Estes passos estão detalhados na aba “Regressão Engle-Granger”. Primeiramente é feita a regressão dos preços de QUAL3 em RENT3:

P_t^{QUAL3}=\alpha P_t^{RENT3}+u_t

Os resíduos \hat{u}_t (também chamados de spread do par) são salvos para a segunda etapa, que consiste em estimar a regressão:

\Delta u_t=a +b u_{t-1}+v_t

A estimação desta segunda regressão resulta em uma estatística t de -4.60 para o coeficiente b. Como o valor crítico é -2.87 a 5% de significância, e -3.44 a 1% de significância, podemos rejeitar a hipótese nula de não-estacionariedade ao nível de 1% de significância, concluindo portanto que as duas séries são cointegradas.

O teste de cointegração em si está concluído, porém isto não implica que o par possa ser operado com sucesso. Para isto é necessário avaliar se o comportamento do spread é adequado e realizar algum tipo de simulação (backtest). Idealmente queremos que o spread apresente o seguinte comportamento:

  • Relação de cointegração estável ao longo do tempo
  • Reversão frequente do spread à média
  • Variabilidade razoavelmente grande nas divergências

Com relação ao primeiro ponto, podemos nos questionar se a relação de cointegração entre duas ações de setores tão diferentes será estável ao longo do tempo; pode ser que seja um resultado espúrio, afinal estamos falando de um teste estatístico que possui uma probabilidade de erro. É importante ressaltar que relações de cointegração podem “quebrar” a qualquer momento. Um resultado positivo em um teste de cointegração é um indício de que o par pode ser operável, mas não garante resultado futuro. É preciso reavaliar periodicamente a relação de cointegração para detectar possíveis mudanças no comportamento das séries.

O gráfico abaixo apresenta a evolução do spread ao longo do tempo, com duas bandas representando -2 e 2 vezes o desvio padrão dos resíduos. Vemos que, apesar de os resíduos apresentarem certa persistência, comportam-se de maneira aparentemente desejável: flutuam razoavelmente ao redor da média, visitando-a com certa frequência. Uma regra possível de operação consistiria em vender o par quando o resíduo estiver acima da banda, e comprar o par quando estiver abaixo da banda. O trade pode ser encerrado quando o par voltar a média ou a um percentual qualquer da média. A simulação do resultado deste tipo de estratégia pode ser feita de maneira muito similar à que introduzi neste post.

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Automatização

Conforme o leitor deve ter percebido, o processo de teste de cointegração de 1 par utilizando o Excel é complicado e possui vários passos. Na prática, um modelo para operar pares precisa avaliar milhares de combinações possíveis e torna-se inviável ou pouco prático fazer isto no Excel. O número de pares possíveis com N ações é N(N-1)/2, ou seja, com 100 ações (uma estimativa razoável do número de ações líquidas no mercado brasileiro) temos 4950 pares possíveis. Neste caso é recomendável utilizar alguma plataforma matemática como o R ou o Matlab. No R pode-se utilizar por exemplo o pacote tseries, que possui a função adf.test para fazer o teste DF. No Matlab há o toolbox de Econometria, que possui a função similar adftest.

No próximo post, falarei em linhas gerais sobre como montar um modelo geral para operar pares cointegrados, e potencialmente dar alguns exemplos em Matlab.

Long-Short através de Cointegração – Parte 2

No primeiro post desta série, introduzi de maneira intuitiva o conceito de cointegração, que permite encontrar pares de ativos que “andam juntos”. Estes pares são bons candidatos para se construir um modelo de operação com pares.

Neste post, explicarei como realizar um teste simples, mas amplamente utilizado, de cointegração*. Aviso: usarei alguns conceitos de Estatística como regressão linear e teste de hipótese. No próximo post, o teste será demonstrado com exemplos reais no Excel e também comentarei como realizá-lo em programas como R e Matlab.

Teste de Estacionariedade (teste de Dickey-Fuller)

Como podemos testar a estacionariedade de uma série? Podemos começar considerando  um modelo simples de séries temporais, o modelo autoregressivo de ordem 1, ou AR(1). Este modelo tem a seguinte forma:

y_t = a + b y_{t-1} + e_t

onde y_t é o valor da série temporal no instante t, e e_t é um choque aleatório. A equação acima mostra que no modelo AR(1), o valor presente da série depende do valor anterior, multiplicado por uma constante b, mais um choque aleatório.

O modelo AR(1) é importante porque ele pode ser estacionário ou não, dependendo do valor de b. Se b<1, o modelo é estacionário, enquanto se b=1 o modelo é não-estacionário (dizemos que possui uma raiz unitária). Se subtrairmos y_{t-1} dos dois lados da equação acima, temos:

y_t -t_{t-1}= a + (b-1) y_{t-1} + e_t

\Delta y_t = a + b^* y_{t-1} + e_t

onde \Delta y_t = y_t -y_{t-1} e b^*=b-1. Agora podemos realizar um teste de estacionariedade com as seguintes hipóteses:

H_0: b^*=0\quad\textrm{(a s\'erie \'e n\~ao-estacion\'aria) VS}\quad H_1: b^*<0\quad\textrm{(a s\'erie \'e estacion\'aria)}

Caso o leitor ainda esteja acordado, este teste pode ser feito de maneira muito simples, fazendo uma regressão linear de \Delta y_t em y_{t-1}. Este teste é conhecido como teste de Dickey-Fuller**. A estatística do teste é simplesmente a estatística-t para o coeficiente b^* acima, porém os valores críticos não são os mesmos de um teste t normal (ver tabela no final do post).

Como este teste nos ajudará a encontrar pares de ações cointegradas? Simples. Em primeiro lugar, para que o par seja cointegrado, ambas as séries de preços precisam ser não-estacionárias, pois lembre-se que a cointegração é uma relação entre duas séries integradas. Após utilizarmos o teste acima para verificar que os preços das duas ações são não-estacionários, aplicaremos um segundo teste para verificar se o spread entre as duas séries é estacionário. Este segundo passo é conhecido como metodologia de Engle-Granger.

Teste de Cointegração (metodologia de Engle-Granger)

No post anterior, definimos cointegração da seguinte maneira: dizemos que duas séries temporais (não-estacionárias) X e Y são cointegradas se existe um número \alpha tal que a série Z=X-\alpha Y  é estacionária. Ou seja, dadas duas séries não-estacionárias, se uma combinação linear delas for estacionária, elas são cointegradas.

A metodologia de Engle-Granger consiste em dois passos: primeiro fazemos uma regressão linear de uma série temporal contra a outra. Em seguida, aplicamos um teste de estacionariedade (como por exemplo o teste de Dickey-Fuller) nos resíduos desta regressão. Se os resíduos forem estacionários, isto significa que encontramos a combinação linear tal que as duas séries são cointegradas

O processo completo para fazer um teste de cointegração entre duas séries de preços (vamos chamá-las de X_t e Y_t) segue portanto os seguintes passos:

1. Usar um teste de estacionariedade para verificar se X_t e Y_t são não-estacionárias. Para haver cointegração, ambas devem ser não-estacionárias.

2. Usando dados das duas séries temporais, rodar uma regressão com a forma abaixo:

Y_t=\alpha X_t+u_t

e calcular os resíduos \hat{u} = Y_t - \hat{\alpha} X_t

3. Testar a estacionariedade dos resíduos \hat{u_t} desta regressão. Caso eles sejam estacionários, as séries são cointegradas.

No próximo post veremos alguns exemplos de aplicação destes testes a pares de ações brasileiras. É importante ressaltar que esta é apenas uma das metodologias de cointegração existentes. Existem outros tipos de testes, como por exemplo a metodologia de Johansen.

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Tabela de valores críticos do teste Dickey-Fuller:

Níve de significância
Tamanho amostral 1% 5% 10%
25 -3,75 -3,00 -2,62
50 -3,58 -2,93 -2,60
100 -3,51 -2,89 -2,58
250 -3,46 -2,88 -2,57
500 -3,44 -2,87 -2,57
∞∞ -3,43 -2,86 -2,57
Fonte: Market Risk Analysis, Vol II, Carol Alexander.

* O objetivo deste post é introduzir o leitor aos conceitos básicos de cointegração.Há inúmeros detalhes técnicos que devem ser considerados para aplicar os testes corretamente. Algumas referências técnicas com mais detalhes: o segundo volume da série Market Risk Analysis daCarol Alexander ou o livro Analysis of Financial Time Series deTsay.

** Uma versão mais sofisticada do teste possui o infeliz nome de Teste de Dickey-Fuller Aumentado. A diferença entre este teste e o teste de Dickey-Fuller normal é que ele inclui mais lags da série temporal na regressão.