Artigo sobre carteiras de variância mínima

Tenho falado bastante no blog sobre carteiras de variância mínima (aqui, aqui, aqui e aqui). Hoje fiquei sabendo que um artigo escrito por mim, em conjunto com um colega, foi aceito no 12o Encontro Brasileiro de Finanças. Mais informações em breve.

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Teoria de carteiras de investimento – Parte I

Este é o primeiro post de uma série onde irei falar sobre otimização de carteiras, seus problemas e uma alternativa que tem recebido muita atenção ultimamente, a criação de carteiras de mínima variância (CMV).

Teoria Moderna de Carteiras

A teoria moderna de carteiras nasceu com o trabalho de Markowitz (1952) , que mostrou como investidores avessos a risco deveriam alocar recursos para maximizar o retorno esperado para um dado nível de risco (ou equivalentemente, minimizar o risco para um determinado nível de retorno esperado).

O problema do investidor é o seguinte. Dado um universo de N ativos (por exemplo, ações), e o capital à disposição, o investidor quer saber que proporção w_i  do capital comprar ou vender de cada ativo, de maneira a atingir o menor risco para um dado nível de retorno. O investidor nesse universo só se importa com duas características de um investimento: o seu retorno, medido através do retorno médio, e o seu risco, medido através da sua volatilidade. Seja \boldsymbol w = \left(w_1, \cdots, w_N \right) o vetor com as porporções de cada ativo, de maneira que \sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1, ou seja, a carteira é totalmente investida. Se  \boldsymbol\mu = \left(\mu_1, \cdots, \mu_N \right) é o vetor com os retornos médios de cada ativo, e \boldsymbol\Omega é a matriz de variância-covariância dos ativos, então o retorno médio e variância da carteira representada por \boldsymbol w são:

  • Retorno médio: \mu_P =\boldsymbol w' \boldsymbol \mu
  • Variância: \sigma_P^2=\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w

Dado um nível de retorno médio desejado pelo investidor, \bar{R}, o problema de Markowitz pode ser colocado da seguinte maneira:

\underset{\boldsymbol w}{\text{minimizar}}\text{ }\boldsymbol w'\boldsymbol\Omega \boldsymbol w\text{ tal que }\sum_{i=1}^{i=N}{w_i} = 1\text{ e }\boldsymbol w' \boldsymbol \mu=\bar{R}.

O problema acima tem solução analítica, se conhecemos \mu e \boldsymbol\Omega. Porém, na prática são utilizadas certas restrições, de acordo com requerimentos do investidor, por exemplo:

  • Não ficar vendido: w_i>0,i=1,\cdots,N
  • Limite de exposição por ação (potencialmente um valor diferente para cada ação): w_i <= c_i
  • Limite de exposição por setor: \sum_{i \in \text{setor }j}w_i <=s_j,j=1,\cdots,S, onde S é o número de setores
  • Limite de alavancagem: \sum{\left|w_i\right|} <= \delta.

Com a inclusão de restrições como as acima, o problema não tem, em geral, solução analítica e precisa ser resolvido usando alguma técnica de otimização. Se formos  variando o nível de retorno esperado desejado, \bar{R}, e a cada vez resolvendo o problema de minimização da variância do portfolio, iremos gerar uma fronteira que possui, para cada nível de retorno, o portfolio com menor variância. A figura abaixo mostra uma estilização do resultado dessas otimizações.  A parte inferior desta fronteira possui carteiras com retorno inferior para um dado nível de risco, e portanto é ineficiente. A parte superior desta fronteira é chamada fronteira eficiente. A área interior delimitada pela fronteira, em azul, possui todas as carteiras viáveis, e é chamada de conjunto de oportunidade. Dado este problema, um investidor avesso à risco sempre irá escolher uma carteira na fronteira eficiente.

Estilização do problema de alocação

No próximo post, irei falar dos problemas que surgem ao se resolver este problema na prática, assim como revisar rapidamente a literatura empírica de finanças, que sugere que a relação retorno-risco preconizada pelo modelo acima não existe nos mercados.

 Markowitz, H.M. (March 1952). “Portfolio Selection”. The Journal of Finance 7 (1): 77–91